Треугольник ABC равнобедренный, AC-AB=1, P=16. Возможно две ситуации: 1) BC=AB 2) BC=AC Рассмотрим первую ситуацию. Пусть AC=x. Тогда AB=x-1, BC=x-1. Тогда P=x+x-1+x-1=3x-2=16 => x=6 AC=6, AB=6-1=5, BC=5 Проводим высоту BH на AC. Так как AB=BC, то AH=HC=AC/2=3 По теореме Пифагора из треугольника ABH находим BH=√(AB²-AH²)=√(25-9)=4. Рассмотрим вторую ситуацию. Пусть AC=x, тогда BC=x, AB=x-1. P=x+x+x-1=3x-1=16 => x=17/3 AC=17/3, BC=17/3, AB=17/3-1=14/3 Из вершины C на сторону AB проводим высоту CD. Так как BC=AC, то BD=AD=AB/2=(14/3)/2=7/3 Зная это, из треугольника ADC можно найти cos∠A=AD/AC=(7/3)/(17/3)=7/17. Значит, sin∠A=√(1-cos²∠A)=√(1-49/289)=√240/17=4√15/17 Из вершины B опустим высоту BH на AC. Зная AB и sin∠A, из треугольника ABH можно найти BH=AB*sin∠A=(14/3)*4√15/17=56√15/51 ответ: 4 или 56√15/51.
Медианы АМ и СК треугольнике АВС перпендикулярны. Найти стороны треугольника, если АМ= 9, СК= 12. Решение: Медианы треугольника точкой пересечения О делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Дано: АМ=9, СК=12. Значит АО=9*(2/3)=6, ОМ=3, СО=12*(2/3)=8, ОК=4. В прямоугольном треугольнике АОС (угол АОС=90° - дано) гипотенуза АС по Пифагору равна АС=√(АО²+ОС²) или АС=√(6²+8²)=10. В прямоугольном треугольнике АОК (угол АОК=90° - дано) гипотенуза АК по Пифагору равна АК=√(АО²+ОК²) или АК=√(6²+4²)=2√13. АВ=2*АК, так как СК - медиана. АВ=4√13. В прямоугольном треугольнике СОМ (угол СОМ=90° - дано) гипотенуза СМ по Пифагору равна СМ=√(ОМ²+ОС²) или СМ=√(3²+8²)=√73. ВС=2*СМ, так как АМ - медиана. ВС=2√73. ответ: стороны треугольника равны АС=10; АВ=4√13≈14,4; ВС=2√73≈17.
Проверка: Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника. Площадь одного из них равна Saok=(1/2)*6*4=12. значит Sabc=6*12=72. В то же время по Герону Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника, а,b,c - его стороны. Полупериметр равен: р=(2√73+4√13+10)/2=(√73+2√13+5). Подставим найденные значения в формулу: Sabc=√[(√73+(2√13+5))*(2√13+5-√73)*(√73+(5-2√13))*(√73-(5-2√13))]= √[((2√13+5)²-73)*(73-(5-2√13)²)]=√[(52+25+20√13-73)*(73-25+20√13-52)]= √[(20√13+4)*(20√13-4)]=√(5200-16)=72. Итак, стороны треугольника найдены правильно.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
