Геометрия, Требуется построить описанную окружность треугольника. Укажите одно или несколько ГМТ, которые потребуются для построения.

ГМТ, находящихся на заданном расстоянии от данной точки

ГМТ, находящихся на заданном расстоянии от данной прямой

ГМТ, равноудаленных от двух точек

ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых

ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых

ГМТ, из которых данный отрезок виден под прямым углом

ДАНО: АВCD - квадрат ; АВ = 10 ; СM = MD = 5 ; AN = ND = 5 ; F - точка пересечения прямых АМ и ВN

ДОКАЗАТЬ: FM = 1,5 × AF

_______________________________

РЕШЕНИЕ:

Заметим (см. рис. 2), что треугольники АВN и  AMD равны по двум катетам ( АВ = АD - стороны квадрата , АN = MD - по условию ). Повернём  ВАN на угол 90° против часовой стрелке и совместим точку А с точкой D. Сторона  MD совместится со стороной AN, а сторона AD — со стороной AB. Поскольку после поворота на 90° стороны AM и BN совместились, значит, до поворота угол между ними был равен 90°. АМ перпендикулярен BN.

АВN = ∆ AMD по двум катетам ( АВ = АD - стороны квадрата , АN = MD - по условию ).

В равных треугольниках соответственно равные элементы => угол АВN = угол МАD ; угол ВNA = угол AMD

Значит, угол FAN + угол FNA = 90° =>
АМ перпендикулярен BN.

Б) Рассмотрим ∆ АМD :
По теореме Пифагора:

АМ² = АD² + MD² = 10² + 5² = 100 + 25 = 125
AM = 5√5

В ∆ FNA : cos FAN = AF / AN

В ∆ АМD : cos МАD = AD / AM

cos FAN = cos MAD = AF / AN = AD / AM =>

AF = ( AN × AD ) / AM = 5 × 10 / 5√5 = 10/ √5 = 2√5

FM = AM - AF = 5√5 - 2√5 = 3√5

FM / AF = 3√5 / 2√5 = 1,5

Из этого следует, что FM = 1,5 × AF , что и требовалось доказать

ДАНО: ∆ АВС ; ВD перпендикулярен СЕ ; BD = 1,5 ; CE= 4

НАЙТИ: S abc


РЕШЕНИЕ:

Пусть точка пересечения медиан ВD и СЕ будет точка О.

По свойству медианы:
Медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Значит, отрезки ВD и СЕ состоят из трёх равных частей.

OD = 1,5 : 3 = 0,5 - одна часть

BO = 2 × 0,5 = 1 - две части

По свойству медианы:
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. треугольники с равными площадями.

S ebc = S aec

Найдём площадь ∆ ЕВС:

S ebc = 1/2 × EC × BO = 1/2 × 4 × 1 = 2

Значит, S abc = 2 × S ebc = 2 × 2 = 4

ОТВЕТ: 4