Пирамида правильная, значит в основании квадрат и боковые ребра равны между собой и равны L. Высота проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей квадрата - О.
SO - высота пирамиды, ∠CSD = α - плоский угол при вершине.
Если конус вписан в пирамиду, то его высота совпадает с высотой пирамиды, а основание - круг, вписанный в основание пирамиды.
ΔCSD: по теореме косинусов
CD² = CS² + DS² - 2CS·DS·cosα = L² + L² - 2·L·L·cosα = 2L²·(1 - cosα)
CD = L√(2(1 - cosα))
Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны квадрата:
r = CD/2 = L√(2(1 - cosα)) / 2 - радиус основания конуса.
CO = AC/2 = CD√2/2 = 2L√(1 - cosα)/4 = L√(1 - cosα)
Из треугольника COS по теореме Пифагора
SO = √(SC² - OC²) = √(L² - L²(1 - cosα)) = L√cosα
Vц = 1/3 · πr² · SO = 1/3 · π ·L²(2(1 - cosα))/4 · L√cosα = πL³ (1 - cosα)√cosα/6
Воспользуемся формулой синуса половинного угла: 2sin²(α/2) = 1 - cosα:
Vц = πL³sin²(α/2)√cosα / 3
Объяснение:
ABCD - прямоугольник.
AE ┴ ABCD.
ED = √7
EC = √8
EB = √6
Найти:АЕ - ?
Решение:Так как AD ┴ DC, AE ┴ABCD => ED ┴DC, по теореме о 3 перпендикулярах => △EDC - прямоугольный.
Найдём DC, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты).
DC = √(EC² - ED²) = √((√8)² - (√7)²) = √(8 - 7) = 1
У прямоугольника противоположные равны.
=> DC = AB = 1
Найдём АЕ, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты).
АЕ = √(EB² - AB²) = √((√6)² - 1²) = √(6 - 1) = √5.
Найдём АD, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)
AD = √(ED² - AE²) = √((√7)² - (√5)²) = √(7 - 5) = √2
AD = BC = √2 (у прямоугольника противоположные стороны равны)
S осн = S прямоугольника = a * b = AD * DC = AB * BC.
S прямоугольника = 1 * √2 = √2 ед.кв.
ответ: √2 ед.кв; √5 ед.изм.
