4. Трикутник ABC задано координатами його вершин
А( 3;5); В( 4;6); C (5;5). Знайдіть кут при вершині А.
Накресліть рисунок, в якому 1 од. відрізок = 1 клітинка​

Длины отрезков, соединяющие середины ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ сторон, заданы в условиии. В самом деле, треугольники, образованные диагоналями и основаниями, очевидно подобны, то есть их стороны относятся, как основания. Раз диагонали равны, то равны и отрезки этих диагоналей от вершин до точки пересечения, то есть это равнобедренные треугольники, с равными улами при основаниях, а это означает, что треугольники, образованные (например) большим основанием, боковой стороной и диагональю, равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому трапеция, у которой диагонали равны - равнобедренная.Раз так, то отрезок, соединяющий середины оснований - это попросту высота, по условию это 8. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон - это средняя линяя, она равна 8.Остается найти длину отрезков, соединяющих середины соседних сторон. Для этого надо найти длину диагонали.Проводится высота из вершины малого основания, получается прямоугольный треугольник с катетами 8 (это высота) и 8 - это часть большого основания. В самом деле, от ближайшего конца большого основания до конца проведенной высоты (9 - 7)/2 = 1, поэтому до другого конца 9 - 1 = 8.Диагональ - гипотенуза в этом треугольнике, она равна 8*корень(2).Длина отрезка, соединяющего середины соседних сторон, равна половине диагонали - как средняя линяя в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции. То есть она равна 4*корень(2).Ясно, что такая длина у всех четырех отрезков, соединяющих середины любой пары соседних сторон. Поэтому эти отрезки образуют ромб. Однако в данной задаче это не просто ромб, а квадрат, поскольку высота равна средней линии. :) 

Вариант 1.
Найдем площадь треугольника АВС. Треугольник равнобедренный, значит высота ВН, проведенная к основанию АС, является и его медианой и равна ВН=√(АВ²-(АС/2)²) или ВН=√(20²-16²)=12.
Sabc=(1/2)*AC*BH или Sabc=(1/2)*32*12=192 см².
Но площадь этого треугольника также равна S=(1/2)*h*a, где а -  боковая сторона треугольника, а h - высота, проведенная к этой стороне.
Тогда искомая высота h=2S/a или h=2*192/20 =19,2см.
ответ:
высота, проведенная к боковой стороне данного треугольника, равна 19,2 см.

Второй вариант:
Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, a,b, c - стороны.
В нашем случае р=(20+20+32)=36.
Тогда S=√(36*16*16*4)=192см².
Площадь также равна Sabc=(1/2)*h*a, где а - сторона треугольника, а h - высота, проведенная к этой стороне.
Тогда искомая высота h=2S/a или h=2*192/20 =19,2см.