З вершини трикутника ABC в один бік від його площини проведено рівні і паралельні відрізки AA1,BB1,CC1. Доведіть,що площини (ABC) і (A1,B1,C1), паралельні.

Очень важная задача.
Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P.
Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства
AK/KB = AT/TP;
BM/MC = TP/CT;
если перемножить эти равенства, то получится
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT;  (*)
Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6;
AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5;

Если вернуться к соотношению (*) 
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; 
то его можно переписать так
(AK/KB)*(BM/MC)*(CT/AT) = 1;
или (AK*BM*CT)/(KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая.

PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое. 

Основания равны 26 и 46; 
Биссектриса образует одинаковые углы с основаниями и с боковой стороной, поэтому отсекает от трапеции равнобедренный треугольник, одна из боковых сторон которого - меньшее основание. Поэтому боковые стороны равны меньшему основанию 26.
Легко убедиться, опустив высоты из вершин меньшего основания, что трапеция составлена из прямоугольника, стороны которого равны - одна 26, другая равна высоте трапеции, и двух одинаковых прямоугольных треугольников с гипотенузой 26, одним из катетов (46 - 26)/2 = 10; второй катет равен высоте трапеции.
Отсюда высота трапеции легко находится по теореме Пифагора, и равна 24. (тут Пифагорова тройка 10,24,26) 
Площадь трапеции равна (13 + 23)*24 = 864;