В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность с центром в точке 0. Площадь Δ АОВ относится к площади Δ COD как 1:3. Тогда отношение sin A: sinD равно... .
Объяснение:
Центр вписанной окружности O лежит в точке пересечения биссектрис углов трапеции. Соединим т. О с точкой касания окружности с боковыми сторонами . Это будет радиус и высота ΔАОВ и ΔCOD ( кстати, прямоугольных) .
S(AOB)=0,5*AB*r ,S(COD)=0,5*CD*r . Тогда отношение
.
Пусть ВК⊥АD ,СР⊥АD. BK=CP =h
ΔABK-прямоугольный ,sin A=
.
ΔDCP-прямоугольный ,sin D=
.
Отношение 
.
Пусть BB' медиана стороны AC, тогда B'C=B'A=CA/2, откуда CA=2*B'C(1)
По свойству медиан треугольника имеем:
OB/OB' =2/1, или OB=2*OB', откуда OB'=OB/2 =10/2=5
где OB=10 по условию
Тогда BB'=OB+OB'=10+5=15
Из прямоугольного треугольника B'CB по теореме Пифагора найдем
B'C = корень[(BB'^2)-(BC^2)]=корень[225-81]=корень[144]=12
где BC=9 по условию
Подставим в (1) вместо B'C его значение, найдем CA:
CA=2*12=24
И, наконец, найдем искомую площадь S треугольника ABC:
S=CA*BC/2=24*9/2=12*9=108
