3.24. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B CD, ребро AB = 6 см, ребро AD = 6 см и ребро AA = 8 см. Докажите, что сечение параллелепипеда
плоскостью BC D является равносторонним треугольником и найдите
высоту этого треугольника​

Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K - середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. 

а) докажите, что EFMK - параллелограмм. 

А к с и о м а 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

С л е д с т в и е 1.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Соединив отрезками данные точки по три: 

А, В и С – получим ∆ АВС. 

А, D и C – получим ∆ ADC

B, D и С  – получим ∆ BDС

B, D и A – получим ∆  BDA.

Отрезок, соединяющий середины двух его сторон называется средней линией треугольника. 

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

EF – средняя линия треугольника АВС и параллельна основанию АС по определению.

КМ – средняя линия треугольника АDC и параллельна основанию АС по определению.  

EF=AC:2, KM=AC:2 ⇒ EF||KM и EF=KM

То же самое верно для КЕ и МF.

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 

------------------------------

б) найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см

КЕ=MF=BD:2=8:2=4

KM=EF=AC:2=6:2=3

P (KMFE)=2•(3+4)=14 см

Треугольник АВС, АВ=ВС=АС=8, уголА=уголВ=уголС=60, ВН=АК=СД - биссектрисы , пресекаются в точке О-центр вписанной окружности, ВН=СД=АН в равностороннем треугольнике=медианам=высотам, треугольникАВН прямоугольный, АН=НС=1/2АС=8/2=4, ВН=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате)=корень(64-16)=4*корень3, в точке О пересечения медианы делятся в отношении 2/1 начиная от вершины, ВО/ОН=2/1, ВН=ВО+ОН=2+1=3, ОН состовляет 1/3 ОН, ОН=ВН*1/3=4*корень3/3, ОН=радиус вписанной окружности, для простоты в правильном треугольнике радиус вписанной окружности=сторона треугольника*корень3/6