Геометрия 9 класс , 9 заданий​

Пусть прямая а пересекает АС в т.В1, ВС в т.А1. 

А1В1 делит  ∆ АВС на две равновеликие части, т. е. на треугольник и четырехугольник равной площади.  

S ∆ А1B1C=S BАB1А1= S ∆ABC:2

Прямоугольные  треугольники с общим острым углом  подобны. 

∆ CA1B1~ ∆ СAB. 

Площади подобных фигур относятся как квадраты отношения линейных размеров их сходственных элементов. 

k²=2 ⇒ k=√2

АВ:А1В1=√2 ⇒ A1B1=AB:√2

АВ найдем из ∆ АВD.

Примем коэффициент отношения отрезков AD:CD равным х.

Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. 

Т.е. ВD² =АD•CD 

Тогда 80=40•9x² 

9х²=2⇒ х=(√2)/3 и  AD=9•(√2)/3 =3√2

 Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

АВ²= BD²+AD²

АВ=√(80+9•2)=√49•2=7√2     ⇒ A1B1=7√2:√2=7

Отрезки диаметра имеют отношение 18:16=18х:16х.
18х+16х=34,
34х=34,
х=1,
значит отрезки равны 18 и 16.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, значит отрезки хорды относятся 1:1.
По теореме о пересекающихся хордах (диаметр тоже хорда), если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Пусть отрезки хорды равны у, тогда у·у=18·16,
у²=288,
у=12√2,
Хорда равна 2у=24√2.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Если основанием считать хорду, то наибольшей высотой к ней, вписанной в данную окружность, является больший отрезок диагонали, значит площадь наибольшего треугольника с хордой в качестве основания, равна:
S=24√2·18/2=216√2 (ед²) - это ответ.