Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором M и N – середины сторон AB и BC соответственно. а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что четырехугольник MNEK есть параллелограмм

1) СУММА. Начало второго вектора совмещается с концом первого и т.д. (если суммируется несколько векторов), а вектор суммы направлен от начала первого вектора к концу последнего.  Вектор ВС=5b ( так как ВР:РС=1:4) Тогда
АС = АВ+ВС = a+5b.
2) РАЗНОСТЬ. Для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).
Так как вектор AD равен вектору ВС (противоположные стороны параллелограмма), то
DB= AB-AD = a-5b.

Так как точка К симметрична точке М относительно прямой АС, то

КМ⊥АС и КО = ОМ.

Так как точка N симметрична точке М относительно прямой АВ, то

NM⊥AB и NP = PM.

Рассмотрим треугольники ВМР и СМО:

ВМ = МС, так как М - середина ВС,

∠ВРМ = ∠СОМ = 90°,

∠МВР = ∠МСО = 60° (так как треугольник АВС правильный), ⇒

ΔВМР = ΔСМО по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует:

      МР = МО, и значит МN = MK,

      ∠ВМР = ∠СМО.

АМ - медиана и высота ΔАВС, тогда

∠AMN = 90° - ∠ВМР

∠АМК = 90° - ∠СМО, а так как ∠ВМР = ∠СМО, то и

∠AMN = ∠АМК.

Итак, ΔMNK равнобедренный с основанием NK,

МТ - его биссектриса, проведенная к основанию, значит МТ - высота.

Следовательно NK⊥AM.