❤️❤️❤️ 4. Треугольника РМК задан координатами своих
вершин P(-1;5;3), M(-1;-3;9), K(3;-2;6) а) докажите,
что треугольник РМК - прямоугольный; б) найти
длину медианы треугольника, проведенной из
вершины прямого угла

Для доказательства прямоугольности треугольника РМК нам необходимо проверить, являются ли два из его сторон перпендикулярными друг другу.

a) Для начала найдем векторы сторон треугольника.
Вектор PM: PM = M - P = (-1 - (-1), -3 - 5, 9 - 3) = (0, -8, 6)
Вектор PK: PK = K - P = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3)

b) Проверим, являются ли данные векторы перпендикулярными друг другу. Если их скалярное произведение равно 0, то векторы перпендикулярны.
PM · PK = (0 * 4) + (-8 * -7) + (6 * 3) = 0 + 56 + 18 = 74
Так как скалярное произведение не равно 0, значит, векторы PM и PK не являются перпендикулярными друг другу.

Ответ вопроса a) - треугольник РМК не является прямоугольным.

b) Для того чтобы найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла, нужно отыскать середину стороны, противоположной этой вершине и найти длину отрезка от середины этой стороны до вершины прямого угла.

Середина стороны PK:
Xк = (Xп + Xk) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1/2
Yк = (Yп + Yk) / 2 = (5 - 2) / 2 = 3/2
Zк = (Zп + Zk) / 2 = (3 + 6) / 2 = 9 / 2

Теперь найдем вектор, соединяющий середину стороны PK и вершину P:
Вектор KP’: KP’ = P - P’ = (-1 - 1/2, 5 - 3/2, 3 - 9/2) = (-2 1/2, 8/2 - 3/2, 6/2 - 9/2) = (-2 1/2, 5/2, -3/2)

Длина вектора KP’: |KP’| = √[(-2 1/2)^2 + (5/2)^2 + (-3/2)^2] = √[(25/4 + 25/4 + 9/4)] = √[(59/4)] = √[59]/2

Таким образом, длина медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна √[59]/2.