Точка пересечения O — серединная точка для обоих отрезков AG и RS.

Как исполняется первый признак равенства треугольников AOR и GOS                                                                      

Так как отрезки делятся пополам, то

 

1. сторона RO в треугольнике AOR равна стороне SOGOSG в треугольнике GROGOSAGO.

                     

2. Сторона AO в треугольнике AOR равна  стороне SOSGGO в треугольнике GROGOSAGO.

                     

Угoл AOR равен углу SGOOSGGOS как вертикальный угол.

 

Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

​

ответ: а) 6/√5 (ед. длины). б) 108/√5=21,6√5 (ед. площади)

Объяснение: Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла.⇒ АН - биссектриса угла ВАD, О - центр окружности. ОК и ОЕ - радиусы, проведенные к точкам касания. По свойству отрезков касательных,  проведенных к окружности из одной точки.  АК=АЕ; DE=DH; FK=FH

 Примем АК=АЕ равным х. Тогда ЕD=DH=9-х.

а) Рассмотрим рисунок приложения.  Угол AFD=∠CDF (накрестлежащие при FA||CD и  секущей FD)  Но ∠CDF=∠ADF (DF- биссектриса ) ⇒ ∠АFD=∠FDA. ⇒ ∆ FAD – равнобедренный и AF=AD=9.

  АН - биссектриса угла равнобедренного треугольника, ⇒ АН – его высота и медиана ( свойство). ⇒ FН=НD=9-х

  Аналогично в ∆ КАЕ  биссектриса АМ равнобедренного ∆ АКЕ - медиана и высота. ⇒ КМ=МК=4:2=2.

     Прямоугольные ⊿ МАЕ и ⊿ НAD  подобны по общему острому углу при А.  Из подобия следует отношение DH:ЕМ=DA:ЕА.

т.е. (9-х):2=9:х., откуда получаем х²-9х+18=0.  По т.Виета х₁+х₂=-(-9)=9;    х₁•х₂=18 ⇒ х₁=3; х₂=6

  По условию АЕ< AD, поэтому АЕ=3, ED=6

Из ⊿ АНD по т.Пифагора АН=√(AD*-DH*)=√(81-36)=3√5

 ⊿ АОЕ и ⊿ АDH подобны по общему углу при вершине А, из чего следует ОЕ:DH=AE:AH ⇒ r=AE•DH:AH =3•6:3√5.=6/√5.

б) При условии, что окружность касается стороны BC параллелограмма, диаметр РЕ окружности, вписанной в угол ВАD, будет высотой параллелограмма. S=h•a=2r•AD=(12/√5)•9=108/√5. = 21,6√5 (ед. площади)

В рассуждениях нужно использовать признаки делимости...
кратное 18 ---> оно делится на 2 и на 9
т.е. оно четное --- заканчивается на 0 или 2 или 4 или 6 или 8
и сумма цифр числа делится на 9 (это признак делимости на 9)))
получим варианты:
a b с d 0
a b с d 2
a b с d 4
a b с d 6
a b с d 8
и теперь второе условие: соседние цифры отличаются на 2
для первого варианта: a b с 2 0,     a b 0 2 0 или a b 4 2 0
a+b+2 = 9 или a+b+4+2 = 9
a+b = 7              a+b = 3 ---> 12420, например
18 * 690 = 12420
но, первые цифры не на 2 отличаются... не получилось...
но смысл рассуждений такой же)))
пробуем еще...
у меня получилось:
24246 / 18 = 1347
можно попробовать и еще найти...