154. а) Даны треуголник АВС, в котором уголC = 90°, AC = 3 см, ВС = 1,5 см, и точка 0, принадлежащая прямой AB, причем OA = 2 см и точка
А лежит на отрезке ОВ. Постройте образ
треугольника АВС при повороте око-
ло точки О по часовой стрелке на угол 60°.​

Доказательство: Пусть а1 и а2 - 2 параллельные прямые и  плоскость, перпендикулярная прямой а1. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку А2 пересечения прямой а2 с плоскостью  произвольную прямую х2 в плоскости . Проведем в плоскости  через точку А1 пересечения прямой а1 с прямую х1, параллельную прямой х2. Так как прямая а1 перпендикулярна плоскости , то прямые а1 и x1перпендикулярны. А по теореме 1параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендикулярна любой прямой х2 в плоскости . А это ( по определению )значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Дано:

α⊥β     α∩β = k   MN₁⊥NN₁

MM₁⊥k   NN₁⊥k     MM₁⊥M₁N

MM₁ = 18 см   NN₁ = 11 см  MN = 25 см

--------------------------------------------------------

Найти:

M₁N₁ - ?

1) ΔMM₁N - прямоугольный (NM₁⊥k, ∠MM₁N = 90°), следовательно используем по теореме Пифагора:

MN² = MM₁² + M₁N² ⇒ M₁N = √MN² - MM₁²

M₁N = √(25 см)² - (18 см)² = √625 см² - 324 см² = √301 см² = √301 см

2) Рассмотрим ΔM₁N₁N:

MM₁⊥k, и NN₁⊥k ⇒ NN₁⊥MN₁   |

∠M₁N₁N = 90°                               | ⇒ ΔM₁N₁N - прямоугольный.

NM₁² = NN₁² + N₁M₁² - теорема Пифагора, следовательно:

N₁M₁ = √NM₁² - NN₁² = √(√301 см)² - 11 см² = √301 см² - 121 см² = √180 см² = √36×5 см² = 6√5 см

ответ: N₁M₁ = 6√5 см

P.S. Рисунок показан внизу↓