Построим отрезок BC длины a. Центр O описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения двух окружностей радиуса R с центрами в точках B и C. Выберем одну из этих точек пересечения и построим описанную окружность S треугольника ABC. Точка A является точкой пересечения окружности S к прямой, параллельной прямой BC и отстоящей от нее на расстояние ha (таких прямых две).
8.2.
Построим точки A1 и B1 на сторонах BC и AC соответственно так, что BA1 : A1C = 1 : 3 и AB1 : B1C = 1 : 2. Пусть точка X лежит внутри треугольника ABC. Ясно, что SABX : SBCX = 1 : 2 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке BB1, и SABX : SACX = 1 : 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на отрезке AA1. Поэтому искомая точка M является точкой пересечения отрезков AA1 и BB1.
8.3.
Пусть O — центр данной окружности, AB — хорда, проходящая через точку P, M — середина AB. Тогда |AP – BP| = 2PM. Так как РPMO = 90°, точка M лежит на окружности S с диаметром OP. Построим хорду PM окружности S так, что PM = a/2 (таких хорд две). Искомая хорда задается прямой PM.
8.4.
Пусть R — радиус данной окружности, O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса |R ± r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.
8.5.
Пусть R — радиус окружности S, O — ее центр. Если окружность S высекает на прямой, проходящей через точку A, хорду PQ и M — середина PQ, то OM2 = OQ2 – MQ2 = R2 – d2/4. Поэтому искомая прямая касается окружности радиуса
Ц
R2 – d2/4
с центром O.
8.6.
Возьмем на прямых AB и CD точки E и F так, чтобы прямые BF и CE имели заданные направления. Рассмотрим всевозможные параллелограммы PQRS с заданными направлениями сторон, вершины P и R которых лежат на лучах BA и CD, а вершина Q — на стороне BC (рис. 8.1). Докажем, что геометрическим местом вершин S является отрезок EF. В самом деле,
SR
EC
= PQ
EC
= BQ
BC
= FR
FC
, т. е. точка S
Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 13 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды.
ответ: 2 см
Объяснение.
Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга. (теорема).
Боковые грани образуют с основанием двугранные углы, величина которых по условию 45°.Сторонами их линейных углов являются высоты боковых граней и радиусы вписанной окружности, которые являются проекцией этих высот на основание и по т. о 3-х перпендикулярах перпендикулярны сторонам треугольника в одной точке ( см. рисунок приложения.). Высота пирамиды МО, радиус вписанной окружности ОН и высота МН боковой грани образуют прямоугольный треугольник МОН. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 45°, то второй тоже 45° =>
∆ МОН - равнобедренный и МО=ОН=r .
Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, r=(a+b-c):2, где а и b - катеты, с - гипотенуза.
Стороны треугольника с гипотенузой 13 и катетом 5 из Пифагоровых троек с отношением сторон 5:12:13. Второй катет АС=12 ( проверьте по т.Пифагора). =>
ОН=r=(5+12-13):2= 2 см.
МО=ОН=2 см ( высота пирамиды)
