СРАЗУ ОТВЕТЫ!!)) :
1) ответ: Да
2) ответ: Нет
3) ответ: Нет
4) ответ: 1 < x < 9
5) ответ: 3 < x < 11
6) ответ: 0 < x < 2a
7) ответ: x > a/2
8) ответ: 1 < x < 5
9) ответ: 1 < x < 2.2
Подробное обьяснение:
1 - 3)
Для первых трёх заданий сделаем утверждение:
ΔABC существует тогда, когда сумма двух его любых сторон строго больше оставшейся третьей. Составим систему уравнений:
AC + BC > AB
AB + AC > BC
AB + BC > AC
Если для любого треугольника ABC не выполняется эта система, такого треугольника не существует.
1)
3 + 5 > 6
3 + 6 > 5
5 + 6 > 3
8 > 6
9 > 5
11 > 3
Система выполняется, => существует.
1) ответ: Да
2)
4 + 5 > 10
9 > 10
Для других сторон даже не надо вычислять, сразу видно, что такого треугольника не существует.
2) ответ: Нет
3)
Составим систему уравнений отдельно для этого треугольника, взяв из основной системы второе уравнение:
AB + 7 > BC
AB - BC = 10
Из второго уравнения, BC = AB + 10.
AB + 7 > AB + 10
Отнимаем от обеих частей уравнения AB:
7 > 10
Неравенство не выполняется => не существует
3) ответ: Нет
4 - 9) Здесь немного другое условие и другой метод решения, но система остаётся.
4)
4 + 5 > x
4 + x > 5
5 + x > 4
Переносим все числа в правую часть.
x < 9
x > 1
x > -1
Нас интересуют первые два неравенства. Они и задают интервал x.
4) ответ: 1 < x < 9
5) AD медиана, т.е. BD = 8/2 = 4
Рассмотрим треугольник ABD. Составим для него систему:
7 + 4 > x
7 + x > 4
4 + x > 7
x < 11
x > -3
x > 3
5) ответ: 3 < x < 11
6) Не пугаемся того, что здесь нет чисел, машинально строим нашу любимую систему:
a + a > x
a + x > a
a + x > a
Убираем третье уравнение - оно повторяет второе. Переносим все a направо, x налево.
x < 2a
x > 0
6) ответ: 0 < x < 2a
7)
x + x > a
x + a > x
Я сразу убрал третье уравнение.
x > a/2
a > 0
На самом деле, нам не нужно и второе уравнение (понятное дело что не бывает нулевых и отрицательных сторон). Важно первое. В этом треугольнике x может быть сколько угодно большим, главное чтобы больше половины a (если не верите, попробуйте сами нарисовать равнобедренный треугольник с крошечным основанием и длиннющими боковыми сторонами, это будет похоже на меч). Поэтому:
7) ответ: x > a/2
8) Для начала найдём границы AB:
4 + 6 > AB
4 + AB > 6
6 + AB > 4
AB < 10
AB > 2
AB > -2
То есть интервал AB: 2 < AB < 10
Если интервал AB это 2 < AB < 10; а AD половина AB, то интервал AD - половина интервала AB:
1 < AD < 5.
Рассмотрим треугольники ADC и BDC.
Обозначим AD = BD = a
Найдём границы x в обеих треугольниках.
В тр. ADC:
a + x > 6
x + 6 > a
a + 6 > x
x > 6 - a
x > a - 6
x < a + 6
Нам нужны последние два неравенства.
В тр. BDC:
a + x > 4
x + 4 > a
a + 4 > x
x > 4 - a
x > a - 4
x < a + 4
Опять же, берем второе и третье неравенство.
Составим систему из пяти неравенств:
x > a - 6
x < a + 6
x > a - 4
x < a + 4
1 < a < 5
Избавимся от лишних неравенств. Мы знаем, что (a - 4) > (a - 6), поэтому смело избавляемся от первого уравнения, третьего достаточно. Таким же избавляемся от второго уравнения, (a + 6) > (a + 4), если x меньше какого-то числа, то понятно что оно меньше чисел больше. Итак:
x > a - 4
x < a + 4
1 < a < 5
Подставляем в первые уравнения верхнюю и нижнюю границу a:
x > 1 - 4
x > -3
x > 5 - 4
x > 1
x < 1 + 4
x < 5
x < 5 + 4
x < 9
8) ответ: 1 < x < 5
9) Мне кажется, для вас после 8 задания это вообще легче лёгкого:
0.6 + 1.6 > x
0.6 + x > 1.6
1.6 + x > 0.6
x < 2.2
x > -1
x > 1
9) ответ: 1 < x < 2.2
Обозначим данные точки А, В и С. Эти три точки можно соединить одним единственным в фигуру из трех точек и трех отрезков. Т.е. в треугольник , для которого предлагается построить два подобных с коэффициентом подобия k=3 и k=0,5 ( См. рисунки вложения)
Продлим ВС и АС и с циркуля 3 раза отложим длину этих сторон. Получим СА1=3АС и СВ1=3ВС. Угол А1СВ1 получившегося треугольника равен углу ВСА ( вертикальные). Треугольники АВС и А1В1С подобны по пропорциональным сторонам и равному углу между ними. Аналогично строится треугольник А2СВ2, подобный треугольника АВС с k=0,5. Для этого сначала делим две стороны пополам деления отрезка пополам циркулем Вы, конечно, уже знаете).
На сторонах угла ВАС от А циркулем на АС и АВ откладываем равные отрезки АМ и АК. Соединим М и К. На произвольной прямой отмечаем т.А1 и чертим окружность радиусом, равным АК. Точку пересечения с взятой прямой отмечаем К1. От К1 на окружности циркулем отмечаем точку М1 так, что К1М1=КМ. Из центра А1 окружности поводим прямую А1М1. Угол, равный углу ВАС исходного треугольника, построен. На прямых А1М1 и А1К1 откладываем стороны нужной длины: А1С1=3АС и А1В1=3 ВС и соединяем их. Аналогично для треугольника с k=0,5 откладываем половины длин сторон АС и АВ треугольника АВС и соединяем их. Стороны построенных треугольников пропорциональны сторонам исходного, а углы между ними равны углу ∆ АВС.
