плоскостгь альфа пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках B1 и C1. Если AB1:BB1=3:1,B1C1=12 см BC паралельно альфу,то найдите длину отрезка BC​

Сразу можно сказать, что это тело - конус. Именно конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Для иллюстрации прикладываю рисунок. Теперь решаю задачу. Тут сразу возникает неоднозначность. Сказано, что острый угол в 60 градусов в прямоугольном треугольнике, но не сказано, какой. Поэтому задача имеет два решения. Я рассмотрю и первый случай, так, как у меня так нарисовано, но и второй случай, когда 60 градусам равен другой острый угол. Итак, что мы знаем?
Площадь полной поверхности конуса - это площадь основания конуса + площадь боковой поверхности.
S(бок) = 2пиrh, h - высота конуса, r - радиус основания конуса.
S(осн) = пиr^2
Нам надо знать для решения этой задачи длины высоты конуса и его радиуса. Конечно же, найдём мы их из прямоугольного треугольника ASO.
cos 60 = AO/AS;
cos 60 = r/8
1/2 = r/8
r = 4 - радиус найден.
В треугольнике ASO по теореме Пифагора находим другой катет - высоту конуса.
h = корень из (8^2 - 4^2) = корень из 48
Теперь легко находим полную поверхность конуса как сумму боковой поверхности и площади основания:
S = 16пи + 8 корней из 48 * пи

Если же <ASO = 60 градусам, то рассмотрим теперь такой вариант, совершенно аналогичный прежнему. Рассмотрим всё тот же прямоугольный треугольник ASO.
Тогда <SAO = 30 градусам, а катет, лежащий против угла в 30 градусам, равен половине гипотенузы. таким образом, SO = 1/2AS = 1/2 * 8 = 4
Находим радиус теперь по теореме Пифагора, он равен корню из 48, это высота конуса.  Теперь площадь поверхности находится легко:
S = 48пи + 8корней из 48 пи. ответ на второй случай также получен. Задача решена.

Возможны два случая расположения отрезка PQ  и плоскости α.
1. Отрезок пересекает плоскость. (рис.1)
Пусть QO = x, OP = 15 - x
ΔOQQ₁ подобен ΔOPP₁ по двум углам (∠OQ₁Q = ∠ОР₁Р = 90°, углы при вершине О равны как вертикальные)
x/(15 - x) = 33,5/21,5 = 67/43
43x = 1005 - 67x
110x = 1005
x = 1005/110 = 201/22 = 9  3/22
Но это невозможно, т.к. OQ - гипотенуза в прямоугольном треугольнике  OQQ₁ и она не может быть меньше катета QQ₁.
2. Отрезок PQ не пересекает плоскость α. (рис. 2)
Q₁Q⊥α и Р₁Р⊥α, ⇒ Q₁Q ║ Р₁Р значит точки Q₁, Q, Р₁ и Р лежат в одной плоскости.
Q₁QРР₁ - прямоугольная трапеция.
Проведем РН⊥Q₁Q. Тогда PP₁Q₁H - прямоугольник.
Q₁H = PP₁ = 21,5, ⇒ HQ = 33,5 - 21,5 = 12 см
ΔPQH: ∠PHQ = 90°, по теореме Пифагора
             РH = √(PQ² - QH²) = √(15² - 12²) = √81 = 9 см

P₁Q₁ = PH = 9 см