Геометрия контрольная работа. 8 класс ​

Если AMB прямой угол, то |OM| = 6/2 = 3 см.

Треугольник OMC прямоугольный (прямой угол M) с гипотенузой |OC| = 6*корень(3)/2 = 3*корень(3) и уже найденным катетом |OM|. Второй катет по Пифагору корень(3*3*3 - 3*3) = 3*корень(2).

Проекцию OM на плоскость треугольника ABC (обозначим x) можно найти по подобию: x/|OM| = |OM|/|OC| или x = 3*3/(3*корень(3)) = корень(3)

Площадь проекции всего треугольника составит половина произведения x (ее высоты) на основание AB или 0.5*6*корень(3) = 3*корень(3).

Ну вроде бы так, если не запутался.

Пусть ABCD - трапеция,  в которую вписана окружность с центром в т. О. Радиус окружности можно вычислить с отрезков, на которые точка касания окружности делит боковую сторону трапеции.
CE = 8 см
DE = 18 cм
r = √(CE * DE)
r = √(8 * 18)  = √144 = 12 (см)

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, значит
BK = BF, CF = CE = 8 см, DE = DM = 18 см, AM = АК = Х
Меньшее основание трапеции равно 14 см, т.к. бОльше основание 
AD = AM + 18 > 14 ⇒ BC = 14 cм ⇒ BF = BK = BC - CF = 14 - 8 = 6 (см)

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикудярен касательной.

В прямоугольном треугольнике BKO:
катет BK = 6cм
катет ОК = r = 12 cм
BO - гипотенуза

по теореме Пифагора
BO² = BK² + OK²
BO² = 6² + 12² = 36 + 144 = 180
BO = √180 = 6√5 (см)

в прямоугольном треугольнике AOB:
катет BO = 6√5 cм
гипотенуза AB = BK + AK = 6 + Х
AO = катет

по теореме Пифагора
AB² = AO² + BO²
AO² = AB² - BO²
AO² = (6 + x)² - (6√5)²
AO² = 36 + 12x + x² - 36*5 = x² + 12x - 144

в прямоугольном треугольнике AMO:
катет ОМ = r = 12 см
AO - гипотенуза, AO² = x² + 12x -144
катет AM = x

по теореме Пифагора
AO² = OM² + AM²
x² + 12x -144 = 12² + x²
x² - x² + 12x = 144 + 144
12x = 288
x = 24 (cм)
AM = АК = 24 см

AD = AM + DM
AD = 24 + 18 = 42 (cм)

Второе основание равно 42см

(вместо черточек я отметила равные отрезки цифрами)-----