1.38." У трикутнику ABC висота BD, медіана ВМ і бісектриса ВК ділять кут АВС на чотири рівних кути. Знайдіть кути три-
кутника ABC.
​

Плоскость треугольника ABC проходит через прямую DE, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой BC, следовательно DE||BC.
△ADE подобен △ABC (углы при основаниях равны, т.к. являются соответственными углами при параллельных DE и BC).
BD/DA=2/3 <=> DA=(3/2)BDBA=BD+DA = BD+(3/2)BD = (5/2)BDDA/BA = (3/2)BD/(5/2)BD = 3/5
Коэфициент подобия △ADE и △ABC равен отношению соответствующих сторон: k= DПлоскость треугольника ABC проходит через прямую DE, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой BC, следовательно DE||BC.
△ADE подобен △ABC (углы при основаниях равны, т.к. являются соответственными углами при параллельных DE и BC).
BD/DA=2/3 <=> DA=(3/2)BDBA=BD+DA = BD+(3/2)BD = (5/2)BDDA/BA = (3/2)BD/(5/2)BD = 3/5
Коэфициент подобия △ADE и △ABC равен отношению соответствующих сторон: k= DA/BA= 3/5
DE/BC=3/5BC= 5*5/3 = 25/3 = 8,33 (см)
Не за что!A/BA= 3/5
DE/BC=3/5BC= 5*5/3 = 25/3 = 8,33 (см)
Не за что!

Треугольники АВС и АВD подобны по двум углам: <A у них общий, а <B=<C, так как <C=0,5 градусной меры дуги BD,как вписанный а <ABD=0,5 градусной меры дуги BD как угол между касательной и хордой BD. Из подобия имеем: АВ/АС=BD/BC=3/4. Следовательно, можем сказать, что АВ=3х, а АС=4х. Тогда по теореме косинусов из треугольника АВС имеем: ВС²=АВ²+АС² - 2*АВ*АС*CosA  или 16=9х²+16х²-2*12х²*(7/8) => 16=4х². х=2. АВ=6, АС=8. По теореме о касательной и секущей АВ²=АС*AD => AD=36/8, DC=AC-AD = 7/2 =3,5. Площадь треугольника BCD по Герону при полупериметре р=5,25:

Sbcd = √(5,25*1,25*2,25*1,75)≈ 5,08.

R=a*b*c/4S или R = 3*4*3,5/(4*5,08) = 2,067.

ответ: АВ=6,  R=2,067.