В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота к основанию AC, длина основания равна 31 см, ∡CBD=43°. ​

1)∠А=50°,  ∠В=х, ∠С=12х
∠А+∠В+∠С=180
50+х+12х=180
13х=130°, х=10°
∠В=10°, ∠С=120°
2) ∠С=90° , ∠В=35°, ∠А=90°-35°=55°
ΔАСD, ∠D=90°, ∠ACD=35°
3) ΔABC, ∠A=∠B - 60°, ∠C=2*∠A, 
∠A=x, ∠B=x+60, ∠C=2x
x+(x+60)+2x=180
4x=180-60=120
x=120÷4
x=30
∠A=30°, ∠B=30°+60°=90°, ∠C=30°*2=60°
4) Высота разбивает равнобедр. треугольник на 2 прямоугольных треугольника. Высота является в полученном треугольнике - катетом и она в 2 раза меньше боковой стороны т.е. гипотенузы, поэтому катет лежит против угла 30°. Значит углы при основании равнобедренного треугольника по 30°,
 а угол при вершине 180°-30°-30°=120°
ответ: наибольший угол при вершине равнобедренного треугольника.

Если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.

Известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь :)) 

L^2 = a*b - x*y;

Здесь L = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.

Из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому

L^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть

c^2 = (a + b)^2*(1 - L^2/(a*b));

Вычисления дают с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)

Поскольку найдены все три стороны, задача в принципе уже решена. Но вычисления по формуле Герона в данном случае слишком громоздки. Проще найти угол напротив стороны с.

По теореме косинусов (обозначено t = cos(C))

с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;

t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);

Подстановка значений дает t = - 7/25; (угол С тупой) 

Отсюда sin(C) = 24/25;

Площадь S = a*b*sin(C)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2

 

Больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего Пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. Увы -  не вышло. Может, кто-то сообразит?