Найти высоту треугольника ABC, опущенную из вершины C на сторону A(-3;4;7), B(1;5;-4), C(-5;-2;0), D(2;5;4).

Решение понятно из рисунка.
Треугольник АВС правильный, значит точка D лежит ВНЕ треугольника. Значит есть два варианта ответа, для точек D, симметричных относительно Стороны АВ треугольника.
В первом случае <BAD=90°, значит <CAD=30° (90°-60°).
Треугольник АВD равнобедренный (прямоугольный с углами 45°). АВ=АD. Значит треугольник DAC тоже равнобедренный (АС=АD) с углом при вершине 30°. Тогда <ADC=(180-30 ):2=75°, а <CDB=75-45=30°/
ответ: <СDB=30°

Во втором случае:
В равеобедренном треугольнике АD1С (AD1=AC) <D1AC=90+60=150°.
Тогда <AD1C=<D1CA=15°, а <CD1B=45-15=30°
ответ: <СD1B=30°

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСМ.
Гипотенуза АС=4
Катет СМ=2, значит ∠САМ=30°.
Катет против угла в 30° равен половине гипотенузы.
∠САМ=∠ВАК=30°  (АК-биссектриса и делит угол пополам), значит в треугольнике АВС ∠А=60°, ∠В=30° ( сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)
В прямоугольном треугольнике АВС  против угла в 30° лежит катет АС=4, значит гипотенуза АВ=8.
В прямоугольном треугольнике АВК против угла ВАК, величина которого 30°, лежит катет ВК, равный половине гипотенузы АВ.
ВК=4.
О т в е т. 4.