abcd - трапеция; ad - нижнее основание; bc - верхнее основание; o - точка пересечения диагоналей. ef проходит через точку o и параллельно основаниям. mn проходит через точку o и перпендикулярно основаниям - высота трапеции. e∈ab; f∈cd; m∈bc; n∈ad
тр-к boc подобен тр-ку aod. отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения соответственных линейных размеров, т.е. сторон и высот. значит, ad: bc=3^: 1; mo: on=1: 3; mo: mn=1: 4;
пусть bc=x⇒ad=3x; mo=y; ⇒on=3y; mn=4y
площадь трапеции abcd равна: s=1/2(ad+bc)*mo=1/2(x+3x)*4y=8xy
выразим через s площади befc и aefd.
площадь aefd равна сумме площадей aofd и aeo.
рассмотрим тр-ки acd и ocf. они подобны. их высоты относятся как 4: 1, а площади как 16: 1. площадь acd равна 1/2*3x*4y=6xy. площадь ocf равна 1/16*6xy=3/8*xy. площадь aofd равна разности площадей acd и ocf:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
рассмотрим тр-ки abc и aeo. они подобны. их высоты относятся как 4: 3, а площади как 16: 9. площадь abc равна 1/2*x*4y=2xy. площадь aeo равна 9/16*2xy=9/8*xy. площадь aefd равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
площадь befc равна разности площадей abcd и aefd:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
s(befc): s(aefd)=5/4*xy: 27/4*xy=5: 27
Угол А=углу В, следовательно, ∆ АВС равнобедренный. АС=ВС.
1.
Одна из формул площади треугольника
S=a•b•sinα:2=, где α - угол между сторонами. В данном случае это угол С.
Из суммы углов треугольника
угол С=180°-2•75°=30°
Примем ВС=АС=х
Тогда S=(х•х•1/2):2
х²:4=36
х²=36•4
х=√(36•4)=6•2
BC=12
------------
2.
Из решения выше найдено: АС=ВС, ∠С=30°
S=a•h:2, где а - сторона, h - высота, проведенная к ней.
Проведем высоту АН. Примем её равной а.
∆ АСН прямоугольный, АН противолежит углу 30°. Тогда гипотенуза АС=2а⇒
S=а•2а:2=36⇒
а=√36=6.
АС=2•6=12
ВС=АС=12 см
