два однакових рівносторонніх трикутника АВС і CDЕ мають спільну вершину С. Знайдіть кут АВD якщо кут АСD=80°​

1) 20    2) 70

Объяснение:

1. Для решения будем использовать только теорему Пифагора:

1) ΔАВС:

AC² + BC² = AB²

BC² = AB² - AC²

2) ΔAHC:

AH² + CH² = AC²

CH² = AC² - AH²

3) ΔHBC:

CH² + BH² = BC²

CH² = BC² - BH²

4) Из действия 2 и действия 3 составим уравнения:

CH² = AC² - AH² и CH² = BC² - BH², а значит:

AC² - AH² = BC² - BH²

5) Из действия 1 известно, что BC² = AB² - AC², а значит:

AC² - AH² = (AB² - AC²) - BH²

Перенесём AC² из правой части в левую, а AH² из левой части в правую:

AC² - AH² = AB² - AC² - BH²

AC² + AC² = AB² - BH² + AH²

2AC² = AB² - BH² + AH²

AC² = (AB² - BH² + AH²) ÷ 2

6) AB = AH + BH = 2 + 8 = 10

Решим уравнение:

AC² = (AB² - BH² + AH²) ÷ 2

AC² = (10² - 8² + 2²) ÷ 2

AC² = (100 - 64 + 4) ÷ 2

AC² = 40 ÷ 2

AC² = 20

ответ: AC² = 20

2. Здесь тоже будем использовать теорему Пифагора:

1) ΔACD:

AD² + CD² = AC²

AD² = AC² - CD²

2) ΔAHD:

AH² + HD² = AD²

HD² = AD² - AH²

3) ΔHCD:

HD² + HC² = CD²

HD² = CD² - HC²

4) Из действия 2 и действия 3 составим уравнения:

HD² = AD² - AH² и HD² = CD² - HC², а значит:

AD² - AH² = CD² - HC²

5) Из действия 1 известно, что AD² = AC² - CD², а значит:

AC² - CD² - AH² = CD² - HC²

Перенесём HC² из правой части в левую, а CD² из левой части в правую:

AC² - AH² + HC² = CD² + CD²

AC² - AH² + HC² = 2CD²

CD² = (AC² - AH² + HC²) ÷ 2

6) AC = AH + HC = 9 + 16 = 25

Решим уравнение:

CD² = (AC² - AH² + HC²) ÷ 2

CD² = (25² - 9² + 16²) ÷ 2

CD² = (625 - 81 + 256) ÷ 2

CD² = 400

CD = √400 = 20

7) Из действия 1 известно, что AD² = AC² - CD², а значит:

AD² = 25² - 400

AD² = 625 - 400

AD² = 225

AD = √225 = 15

8) AD = BC, a CD = AB поскольку ABCD - это прямоугольник. Значит:

Периметр ABCD = AB + BC + CD + AD

P ABCD = 20 + 15 + 20 + 15 = 70

ответ: P ABCD = 70

Пусть AD и BE пересекаются в точке K 
В треугольнике ABD BE - и биссектриса и высота, то есть это равнобедренный треугольник, AB = BD, и BE - так же и медиана, то есть AK = KD; 
Пусть теперь точка F лежит на продолжении BA за точку A, так что CF II AD. Так как BD - медиана, то в треугольнике FBC AD - средняя линия, а CA - медиана треугольника  FBC; само собой, BE так же медиана этого равнобедренного треугольника FBC (если её продолжить за точку E до пересечения с FC в точке G), то есть точка Е делит AC, как это обычно и бывает с медианами: AE/EC = 1/2;
Более того, BE/EG = 2/1, то есть BE/BG = 2/3; а BK/KG = 1/1; то есть BK/BG = 1/2; отсюда BK/BE = 3/4; и KE/BE = 1/4;
Таким образом, AK = KD = 48; KE = 24; BK = 72;
AB = √(48^2 + 72^2) = 24√13; BC = 2*AB = 48√13;
AE = √(48^2 + 24^2) = 24√5; AC = 3*AE = 72√5;

665