Які пряму и площину називають паралельними​

1. ∠ABD = ∠AMK как соответственные при пересечении параллельных прямых BD и МК,

∠А - общий для треугольников ABD и AMK, значит

Δ ABD подобен ΔAMK по двум углам.

AB : AM = BD : MK

AB : 32 = 4 : 8

AB = 32 · 4 / 8 = 16 см

2. ∠ОАВ = ∠ОМК как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и МК,

∠О - общий для треугольников АОВ и МОК, значит

ΔАОВ подобен ΔМОК по двум углам.

АB : MK = AO : MO

AB : 10 = 8 : 20

AB = 10 · 8 / 20 = 4

3. AD : AB = 6 : 15 = 2 : 5

AK : AC = 8 : 20 = 2 : 5

∠A - общий для треугольников ADK и АВС, значит

ΔADK подобен ΔABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

DK : BC = AD : AB = 2 : 5

DK : 30 = 2 : 5

DK = 30 · 2 / 5 = 12 см

4. Площади подобных треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия:

k² = S₁ : S₂ = 64/81

k = √(64/81) = 8/9

a₁ : a₂ = 8 : 9

Из условия задачи не ясно, какому из треугольников принадлежит сторона, равная 8. Рассмотрим два случая:

1) a₁ = 8

8 : a₂ = 8 : 9

a₂ = 8 · 9 / 8 = 9

2) a₂ = 8

a₁ : 8 = 8 : 9

a₁ = 8 · 8 / 9 = 64/9 = 7_1/9

Треугольники подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого. В нашем случае угол М является общим для обоих треугольников AMD и BMC, а угол BCM треугольника ВМС соответственно равен углу A треугольника  AMD . Докажем, что это так.
1). Пользуясь тем, что в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов, запишем:
<A+<BCD=180°, отсюда
<A=180°-<BCD
2). Рассмотрим вписанный угол BCD. Он опирается на дугу окружности BAD, следовательно, равен ее половине:
<BCD=1/2 BAD.
3). Подставим в 1) значение для угла BCD:
<A=180°-1/2 BAD
4). Рассмотрим треуг-ик ВМС. Здесь угол ВСМ можно выразить как <BCM=180°-<BCD. Подставим сюда полученное в 2) значение для угла BCD:
<BCM=180°-1/2 BAD
5). Из 3) и 4) выражений видно, что <A=<BCM, что и требовалось доказать.