Даны координаты точек: A(1;−1);

B(4;4);

C(9;1);

D(4;−5).

Определи координаты векторов:

AB−→−{;};

AD−→−{;};

BC−→−{;};

DB−→−{;};

CA−→−{;};

CB−→−{;}.

Пусть в тр-ках авс и а (1)в (1)с (1)  1) равны медианы вк и в (1)к (1) ,  2) угол авк =углу а (1)в (1)к (1)  3) угол свк = углу с (1)в (1)к (1)  доказать, что тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1)  доказательство  в тр-ке авс продолжим медиану вк и отложим км =вк и точку м соединим с точками а и с аналогичные построения сделаем в тр-ке а (1)в (1)с (1), тогда вм =в (1)м (1)  1) тр-к акв =тр-ку скм ( по двум сторонам вк=км и ак=кс и углу между ними -они вертикальные)  2) аналогично тр-к а (1)к (1)в (1) =тр-ку с (1)к (1)м (1)  отсюда следует  3) ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), < авм = < вмс =< а (1)в (1)м (1) = < в (1)м (1)с (1)  4) тогда тр-к всм = тр-ку в (1)с (1)м (1) по стороне вм =в (1)м (1) и двум прилежащим углам  5) отсюда вс =в (1)с (1) и ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1),  6) проэтому тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) по двум сторонам и углу между ними  второй способ состоит в том, что по теореме " площадь тр-ка равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними выражают стороны ав и вс через медиану вк и углы авк и свк применяя соотношение s (авс) = s (авк) + s (свк) и доказывают, что ав= а (1)в (1) и вс= в (1)с (1)

"египетский" треугольник, подобный (3,4,5). Стороны 9,12,15. Расстояние от основания медианы к гипотенузе (то есть от середины гипотенузы) до катета 12 равно 9/2. А точка пересечения медиан на треть медианы ближе к вершине перяого угла, то есть расстояние от неё до катета 12 составит (2/3)*(9/2) = 3.

 

А можно и так. Медиана к гипотенузе равна 15/2, а точка пересечения медиан лежит на расстоянии (2/3)*(15/2)  = 5 от прямого угла. При этом, если опустить перпендикуляр из этой точки на катет (да любой :)) в данном случае - на катет 12), то поучится ОПЯТЬ "египетский" треугольник, причем самый настоящий - (3,4,5). Доказательство этого совершенно очевидного факта такое - медиана образует с катетами углы, равные углам треугольника, поскольку разбивает треугольник на два равнобедренных. Отсюда следует подобие построенного треугольника исходному.

Ну, вот так само собой и получилось, что расстояние от точки пересечения медиан до катетов 3 и 4. Нужное по задаче расстояние 3.