Проведем перпендикуляр ОН к прямой А1Д, АД он будет пересекать в пункте М, М - середина АД (это можно доказать следоющим образом : АД1 // МО ( угол ДКА = углу ДНМ = 90 град ( НО - перпендикуляр , а диогонали квадрата АД1 и А1Д пересекаются под примым углом), а если пункт О - середина ДД1, то МО - средняя линия тр. АДД1 и значит М - середина АД)
Соеденим пункты М, Т и О и получим сечение МТО перпендикулярное плоскости А1ДС
АД = ДД1 = 4 см ( по условию)
Найдем диогональ АД1 по т. Пифагора из прямоугольного тр. АДД1:
AД1^2 = AД^2 +ДД1^2
AД1^2 = 4^2 + 4^2
AД1^2= 32
АД1 = 4 под корнем 2
АД1 = АС = Д1С = 4 под корнем 2 (диогонали равных квадратов)
МО, МТ и ТО - средние линии треугольников АДД1, АДС и ДД1С соответственно
МО = АД1/ 2 = 2 под корнем 2
МТ = АС/ 2 = 2 под корнем 2
ТО = Д1С/ 2 = 2 под корнем 2
МТО - ровносторонний треугольник
Площадь МТО ровна ( см во вложении), где а- сторона этого треугольника.
ответ: 2 корень из 2 см^2
Соединим точки Е и С. Треугольник ЕСА - равнобедренный, так как АС=АЕ (это дано).
Углы при основании ЕС равны между собой, а угол А равен 180° -(В+С) = 116°. Тогда углы АЕС и ЕСА равны (180°-116°):2=32°. Значит угол ЕFA (F- это точка пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС) = 180°-(AEF+EAF) = 180°-(32°+58°)=90°. (угол EAF = 1/2 угла А, т.к. AD - биссектриса. Угол AEF = 32°, как угол при основании ЕС равнобедренного тр-ка ЕАС). Итак, при точке пересечения биссектрисы AD и отрезка ЕС все углы прямые!
В равнобедренном треугольнике ЕСА биссектриса AF (отрезок AD) является и медианой и высотой (по свойствам равнобедренного тр-ка) и EF=FC. С другой стороны, по признакам равнобедренности - если EF=FC, то тр-ник EDC, в котором FD является и медианой и высотой, равнобедренный. То есть ED=DC.Углы при основании тр-ка EDC равны угол С - угол ECA = 41°-32° = 9°. Тогда на стороне АB имеем углы АEF,DEF и BED, в сумме равные 180°.
из них нам неизвестен только угол BED, который равен 180°-(32°+9°) = 139°.
Тогда искомый угол BDE в тр-ке BDE равен 180°-(23°+139°) = 18°.
ответ: угол BDE = 18°
