ів. Основою прямого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 є паралелограм ABCD, AD = 8 см, кут BАD = 30. Кут між полощинами ABD і A1CD = 45. Знайти бічне ребро паралелепіпеда.

Дано: ABCD - трапеция
EF - средняя линия
EO = 3 см
OF = 4 см
Найти: AB
Решение.
1) Рассмотрим трапецию ABCD. Средняя линия EF параллельна основаниям AB и DC и делит стороны AD и BC трапеции пополам.
2) Рассмотрим треугольники EOD и ABD.
Углы EOD и ABD равны как соответственные при пересечении параллельных прямых EF и AB секущей BD.
Угол DBC общий. Следовательно, треугольник BOF подобен BDC.
3) Из подобия треугольников следует, что
AB / EO = AD / ED => AB = EO * AD / ED = EO * 2ED / ED = EO * 2 = 6 см.

 Проведем среднюю линию трапеции; пусть она равна a. Если

        LN = a+b, то KM=a-b; AD=a+3b; BC=a-3b.

Высоты всех трех трапеций одинаковы; пусть они равны  h. Тогда

что и требовалось доказать.

А еще проще можно рассуждать так. Проведем средние линии m, n и k верхней, средней и нижней трапеций. Очевидно, что средняя линия средней трапеции является также средней линией трапеции, чьими основаниями служат средние линии верхней и нижней трапеций. Остается вспомнить, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а также то, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Поэтому площадь верхней трапеции равна mh, площадь нижней трапеции равна kh, площадь средней трапеции равна