Задания 8.3, 8.4, 8.5, 8.6

Sabc = 384 см².

Объяснение:

Так как точка S равноудалена от вершин треугольника АВС, она проецируется в центр описанной окружности этого треугольника - точку О. А так как треугольник АВС прямоугольный, то этот центр находится на середине гипотенузы АВ. Точка J по этой же причине находится на отрезке SO, перпендикулярном плоскости АВС. АО = ВО = СО как радиусы описанной окружности.

JO = SO - SJ = 40 - 25 = 15 см. Тогда в треугольнике CJO по Пифагору

СО = √(CJ²-JO²) = √(25²-15²) = 20 cм. АВ = 2·СО = 40 см.

Это гипотенуза. Второй катет равен по Пифагору:

АС = √(АВ²-ВС²) = √(40²-24²) = 32 см.

Площадь треугольника АВС равна

Sabc = (1/2)·АС·ВС = (1/2)·32·24 = 384 см².

Высота опущенная на гипотенузу в прямоугольном треугольнике равна среднему геометрическому 2 сегментов гипотенузы.
Пусть меньший сегмент гипотенузы равен n,  по теореме Пифагора он равен H^2-a^2(где H - высота опущенная на гипотенузу, а а-меньший катет прямоугольного треугольника). В обоих треугольниках он равен тому выражению, следовательно меньшие сегменты 2 треугольников равны.
Пусть больший сегмент равен k, из того что , высота равна среднему геометрическому 2 сегментов гипотенузы, следовательно он равен  H/(Корень квадратный из (a)). Т. к в двух треугольниках высота и сторона катета  равны , то большие сегменты  гипотенузы тоже равны , а т.к большие и малые сегменты 2 треугольников равны, то и их гипотенузы тоже равны, по признаку равенства прямоугольных треугольников, если катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого треугольника,то такие треугольники равны.