1. 1) ∠AOD=∠BOC=130° (вертикальные), значит ∪ ВС=130°(стягивает центральный угол).
2)∪ АВ=∪АС- ∪ВС=180°-130°=50°, значит
∠АСВ =50/2=25 °(вписанный не центральный угол)
2. 1) ∆ АВС- равнобедренный , значит ∠ А=∠С=(180°-177°)/2=1,5°.
2) ∪ ВС=1,5°·2=3° (стягивает вписанный угол), тогда ∠ВОС=3° (центральный угол )
3. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-7°=83° .
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=83°.
4. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-84°=6°
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=6°.
5. ∠ ABC =90°(вписанный), т.к ∪ АС=180° (опирается на диаметр АС). Тогда ∠С=180°-90°-75°=25°
6. 1) ∪ AN=73°·2=146° (стягивает вписанный ∠ NBA). Тогда
∪ NB =∪ AB-∪AN=180°-146°=34°.
2) ∠NMB=34°/2=17° (вписанный не центральный угол)
7. 1) ∆ АОВ- равнобедренный(АО=ОВ=r), значит ∠ОАВ=∠АВО=15°. Тогда ∠ОВС =56°-15°=41°.
2) ∆ ВОС- равнобедренный(ВО=ОС=r), значит ∠ОВС=∠ВСО=41°.
8. ∆ АОВ =∆ СОD (AO=OD=r, CO=OB=r, ∠AОВ =∠CОD-вертикальные ), значит ∠ОАВ =∠ОСD=25°
Обозначим пирамиду МАВСD, МО - высота, МН - апофема ( высота боковой грани).
Апофема делит сторону основания пополам. ВН=СН.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и при пересечении делятся пополам.
∆ ВОС в основании - прямоугольный равнобедренный.
МН⊥ВС. ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах ОН ⊥ ВС, ⇒ ОН — высота и медиана ∆ ВОС. По свойству медианы ОН=BH=CH.
ОН=√(МН²-МО²)=√(225-144)=√81=9
BH=OH=9
MB=√(MH²+BH²)=√(225+81)=√306=3√34
№2
Если боковые ребра пирамиды равны, то равны и их проекции. Тогда проекции боковых ребер равны радиусу описанной около основания окружности. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы ( значит, равен и медиане).
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см равна 10 см (египетский треугольник).
Тогда высота МН ( и медиана ) ∆ АМВ=АВ=10 см. ВН=АН=5 см
АМ= √(MH²+AH²)=√(100+25)=5√5 см
№3.
В основании пирамиды равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, угол С=90°, АС=ВС=6 см. Высота пирамиды - третье из смежных ребер=8 см.
Площадь полной поверхности - сумма площади основания и площадей боковых граней.
S осн=АС•BC:2=18 см²
Грани АМС=ВМС по равенству катетов.
S ∆ AMC=S ∆ BMC=6•8:2=24 см²
S AMB=MH•AB:2
AB=AC:sin45°=6√2
CH высота и медиана ∆ АСВ=АВ:2=3√2
Высота MH большей боковой грани S=√(CH*+MH*)=√(18+64)=√82
S∆AMB=6√2•√82=6√164=12√41
S полн=18+2•24+12√41=(66+12√41) см²
№4
S полн=Sбок+Sосн
Боковые грани этой правильной пирамиды равны. Обозначим её МАВС.
МН- высота и медиана боковой грани. АН=ВН=6 см
∆ АМВ - равнобедренный. Апофема МН=√( АМ²-АН²)=√64=8 см
Sбок=3•МН•АВ:2=144 см²
Sосн=АВ²•√3:4=36√3 см²
Sполн=144+36√3=36(4+√3) см²
№5
Параллелепипед прямоугольный, следовательно, основание и боковые грани прямоугольники, а ребра перпендикулярны основанию и являются высотами параллелепипеда.
Обозначим большую сторону основания АВ, меньшую - ВС, высоту АА1.
Угол А1ВА=60° (дано)
А1А=АВ•tg60°=5√3
Площадь основания АВ•BC=5•3=15 Оснований два. S=2•15=30 см²
Площадь боковой пов-сти АА1•2(AB+BC)=5√3•16=80√3 см²
Sполн=(30+80√3) см²
