Найдите угол A треугольника с вершинами A(-1:√3), B(1:-√3), C(1:√3).​

Основание пирамиды - правильный треугольник. Следовательно, радиус описанной около него окружности (ОС) равен удвоенному радиусу вписанной окружности
R=2*r = 6. А высота основания СН = 9.
Высота пирамиды равна 4, а высота основания =9. Следовательно, центр описанного шара лежит ниже плоскости основания пирамиды.
Центр шара Q лежит на линии высоты пирамиды и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды SC, а высотой – высота пирамиды SO. 
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОCQ.
В нем ОQ=Rш-H=Rш-4 (Н - высота пирамиды ,Rш - радиус шара), ОС=R=6 (радиус описанной около основания окружности).
Тогда по Пифагору QC²=ОС²+OQ² или Rш²=R²+(Rш-H)².
Раскрываем скобки: Rш²=R²+Rш²-2*Rш*Н+H²  или
Rш=(R²+H²)/2Н. В нашем случае Rш=(36+16)/2*4 = 6,5.
Объем шара V=(4/3)*π*R³ =(4/3)*3,14*274,625 + 3449,29/3 ≈1149,76 ≈ 1150.
ответ: Vш ≈ 1150.

В сечении имеем равнобедренную трапецию.

Двугранный угол между плоскостью сечения и основания равен плоскому углу, полученному при пересечении этого сечения и призмы перпендикулярной плоскостью.

Этим сечением является диагональное сечение призмы по АС.

Верхнее основание трапеции делит А1С1 в точке, отстоящей от С1 на 1/4 длины, нижняя диагональ делится в середине.

Получаем прямоугольный треугольник с двумя катетами:

- один это высота призмы, равная √2,

- второй это (1/4) часть диагонали, то есть (1/4)*4√2 = √2.

Катеты равны, значит, угол равен 45 градусов.