Дан треугольник abc, p принадлежит ab, s принадлежит bc, bp:ap=2:5. Через прямую ps проходит плоскость альфа, параллельная прямой ac. 1) докажите, что bc:bs=7:2. 2) найдите длину отрезка ps, если ac=14 см

Центр окружности, описанной вокруг правильного треугольника, является и центром окружности, вписанной в правильный шестиугольник. 
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен радиусу окружности, вписанной в правильный шестиугольник. 
Правильный шестиугольник состоит из 6 равных правильных треугольников, высотой которых является апофема шестиугольника, т.е. радиус вписанной окружности. 
 Площадь каждого из этих треугольников  можно найти по формуле площади правильного треугольника, выраженной  через высоту. 
S₁=h²/√3,
а площадь всего шестиугольника в 6 раз больше. 
Решение: 
Сторона а данного треугольника равна
 Р:3
 а=(6√3):3=2√3 
R=a/√3=2 
Высота h (апофема шестиугольника) каждого треугольника, из которых состоит правильный шестиугольник, равна ОН - радиусу описанной вокруг правильного треугольника окружности.
Площадь правильного  треугольника, выраженная через его высоту
 S= h²/√3 
S₁=4/√3 
S₈=6*4/√3=24/√3  
24/√3=(24*√3):(√3*√3)=8√3 (единиц площади)

В обоих случаях площадь ищется по формуле S= 0.5*P*r(r-радиус вписанной окружности) или же для правильного шестиугольника S=3*a*r.
Понятно, что при наличии описанного правильного шестиугольника мы ищем площадь сразу через эту формулу, но если мы имеем дело с правильным шестиугольником, вписанным в окружность, то нам необходимо найти радиус вписанной окружности в этом же шестиугольнике.
Ищется она по формуле: r=R*cos 180/n, где  - количество сторон данного правильного многоугольника.
Тогда формула принимает вид r=R*cos 30=R*√3/2