Вариант I №1. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

№2. Точки М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.

№3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости грани ABC, если точка M является серединой ребра AD.

A+b{-4;15}
a{x₁;y₁}, b{x₂;y₂}
x₁+x₂=-4
y₁+y₂=15

a-b{8;-5}
x₁-x₂=8
y₁-y₂=-5

системы:
1. {x₁+x₂=4
      x₁-x₂=8

2x₁=12
x₁=6, x₂=-2

2. {y₁+y₂=15
     y₁-y₂=-5

2y₁=10
y₁=5, y₂=10
ответ: a{6;5}, b{-2;10}

2. c=3a-4b. 3=3x₁-4x₂, 4=3y₁-4y₂
d=2a-3b. -2=2x₁-3x₂, 6=2x₁-3x₂

системы:
1. {3x₁-4x₂=3 |*3            {9x₁-12x₂=9
      2x₁-3x₂=-2 |*(-4)         -8x₁+12x₂=8
                                         
                                       x₁=17
x₂=-12

2. {3y₁-4y₂=4 |*3             {9y₁-12y₂=12
     2y₁-3y₂=6 |*(-4)           -8y₁+12y₂=-24
                                       
y₁=-12
y₂=-10
ответ: a{17;-12},  b{-12;-10}

Дан четырёхугольник ABCD. AC=7см, BD=13см Пусть M - середина стороны AB, N - середина стороны BC, L - середина стороны CD и K - середина стороны DA. Требуется найти P(MNLK). Рассмотрим треугольник ABC: M - середина AB, N - середина BC => MN - средняя линия треугольника ABC. Средняя линия треугольника равна половине его основания, то есть MN=AC/2=3.5см. Рассмотрим треугольник BCD: N - середина BC, L - середина CD => NL - средняя линия треугольника BCD => NL=BD/2=6.5см Рассмотрим треугольник CDA: L - середина CD, K - середина AD => LK - средняя линия треугольника CDA => LK=AC/2=3.5см Рассмотрим треугольник ABD: K - середина AD, M - середина AB => KM - средняя линия треугольника ABD => KM=BD/2=6.5см Р(MNLK)=MN+NL+LK+KM=3.5+6.5+3.5+6.5=20см