а) Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, все боковые ребра пирамиды равны, так как имеют равные проекции. Рассмотрим боковые грани трапеции ABS и CBS. Это равнобедренные треугольники. В треугольнике АВS:
Cos(<SBA) = BH1/SB или Cos(<SBA) = BР/АB (из прямоугольного треугольника АВР). ВР=АВ*Cos(<SBA) =АВ*ВН1/SB.
В треугольнике CВS: Cos(<SBC) = BH2/SB или Cos(<SBC) = BQ/BC(из прямоугольного треугольника CВQ). ВQ=BC*Cos(<SBC) =ВС*ВН2/SB.
Но ВС=2АВ (дано). ВН1=АВ/2, ВН2=ВС/2=АВ. (Так как SH1 и SH2 - медианы). Тогда ВР=АВ*(АВ/2)/SB = АВ²/2SB.
ВQ=2АВ*АВ/SB =2АВ²/SB. PQ= BQ-BP =2АВ²/SB -АВ²/2SB= 3AB²/2SB.
BP : PQ = (АВ²/2SB):(3AB²/2SB) = 1:3, что и требовалось доказать.
б) Проведем NP параллельно CQ. Двугранный угол при ребре SB - это угол APN, так как АР перпендикуляр к SB и NP перпендикуляр к SB. По условию Треугольник BSC равносторонний (SB= BC).
Тогда CQ - высота и медиана и BQ=BS/2.
BP/BQ=1/4 (из доказанного выше). => PN=CQ/4 (треугольники ВPN и BQS подобные).
CQ=(√3/2)*BC по формуле высоты для правильного треугольника).
PN=(√3/8)*BC=(√3/4)*AB.
АР=√(АВ²-ВР²) = √(АВ²-(АВ²/4АВ)²) =√(АВ²-(АВ/4)²)=√(АВ²-(АВ/4)²).
АР=АВ√15/4.
AN=√(АВ²-ВN²) = √(АВ²-(BC/4)²) = √(АВ²-(2AB/4)²) =AB√3/2.
По теореме косинусов: Cos<APN)=(AP²+PN²-AN²)/2AP*PN.
Cos<APN)= (3AB²/8)/(AB²*3√5/8) = 1/√5 = √5/5.
ответ: <APN = arccos√5/5 ≈ arccos(0,447) ≈63,5°.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:Четырёхугольник АBCD - параллелограмм.
S(АBCD) = 115 (ед²).
Точка Е - середина AD.
Найти:S(ΔАВЕ) = ?
Решение:Проведём диагональ BD. По свойству параллелограмма имеем, что - ΔABD = ΔCDB. У равных многоугольников равные площади. Следовательно, S(ΔABD) = 0,5*S(АBCD).
Рассмотрим ΔАВЕ. Отрезок ЕВ - медиана ΔАВЕ, так как соединяет серединную точку Е стороны AD с вершиной треугольника В.
Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника. То есть, S(ΔАВЕ) = 0,5*S(ΔABD) ⇒ S(ΔАВЕ) = 0,5*0,5*S(АBCD) ⇒ S(ΔАВЕ) = 0,25*S(АBCD).
S(ΔАВЕ) = 0,25*115 (ед²)
S(ΔАВЕ) = 28,75 (ед²).
ответ: 28,75 (ед²).
