На рисунке BPK=86градусов. Найдите величину угла

Нужно рассмотреть варианты расположения точек на прямой с учетом длины указанных отрезков.
1 вариант: точка В лежит между точками А и С.
Такой вариант возможен (см. рисунок)
Т.к. AB=6, AC=10, BC=4
По рисунку: AC=AB+BC, 10=6+4 - верно.

2 вариант: точка С лежит между А и В.
Такой вариант невозможен (см. рисунок)
Т.к. AC>AB, а по рисунку получается AB=AC+BC

3 вариант: точка А лежит между С и В.
Такой вариант тоже невозможен (см. рисунок)
Т.к. BC<AC, BC<AB, а по рисунку BC=AC+AB

Соответственно, отвечая на поставленный вопрос:
1) "может ли точка С лежать между А и В" - нет (см. объяснение для 2-ого варианта рисунка)
2) "может ли точка В лежать между А и С" - да.
3) "какая из трех точек лежит между двумя другими" - точка В.

Пусть прямая ОK пересекает окружность в точках M и N, а прямая  AK - в точке D (см. рис.)
1)Т.к. AL - биссектриса, то прямая АL пересекает окружность в N.
2)Т.к. ∠BAC=120°, то BC - серединный перпендикуляр к MO.
Теперь докажем, что MF=MO.
3) ∠DMK=∠LAK как вписанные в окружность О.
4) ∠LAK=∠LMK т.к. ∠MKL=∠MAL=90°, и значит 4-угольник KMAL - вписанный.
5) ∠LMK=∠LOK т.к. BC - серединный перпендикуляр к OM.
6) Итак ∠DMK=∠LOK, т.е. ΔDMK=ΔFOK по стороне и двум углам. Значит DMFO - параллелограмм и MF=DO=MO как радиусы. Таким образом, точки F, B, С лежат на окружности с центром M и радиусом ОM (т.к. BM=MC=MO). Значит ∠BFC=∠BMC/2=60°.