53, Медиана CD треугольника ABC делит его на два треугольника ACD и BCD, периметры которых равны соответственно 25 см и 29 см. Найдите
Длину этой медианы, если периметр треугольника ABC равен 44 см.

Дано: ΔАВС - прямокутний, ∠А=90°, АС=30 см, ВС=34 см;  МК⊥ВС, ВМ=МС.  Знайти МК.

Знайдемо АВ за теоремою Піфагора:

АВ=√(ВС²-АС²)=√(1156-900)=√256=16 см.

Проведемо ВК і розглянемо ΔВКС - рівнобедрений, тому що ВМ=СМ і МК⊥ВС, отже ВК=КС.

Нехай АК=х см, тоді КС=ВК=30-х см.

Знайдемо АК з ΔАВК - прямокутного:

АВ²=ВК²-АК²;  16² = (30-х)² - х²;  256=900-60х+х²-х²;  

60х=900-256=644;  х=10 11/15 см.  АК=10 11/15 см, тоді

ВК = 30 - 10 11/15 = 19 4/15 = 289/15 см.

Знайдемо МК за теоремою Піфагора з ΔВМК, де ВМ=34:2=17 см.

МК²=ВК²-ВМ²=(289/15)² - 17² = (83521/225) - 289 = 18496/225.

МК=√(18496/225)=136/15=9 1\15 см.

Відповідь: 9 1/15 см.

Втетрайдере давс точка р середина ад, точка f принадлежит ребру дв, причем f принадлежит дв, дf: fв=1: 3. постройти сечение тетрайдера с плоскостью проходящую через рf и || ас. найдите s сечения, если все ребра равны а. проведем в плоскости adc прямую через точку p параллельную прямой ac, полученная прямая пересекает dc в точке м. тогда pmf - искомое сечение. найдем его площадь. 1) так как df: fb = 1: 3 и df + fb = db = a, то df = 1/4 * a. pd = 1/2 * ad = 1/2 * a. так как в треугольнике adb ad = db = ab = a, значит он равносторонний и pdf = 60. тогда по теореме косинусов: pf^2 = (1/2 * a)^2 + (1/4 * a)^2 - 2 * 1/2 * a * 1/4 * a * cos 60 pf^2 = 1/4 * a^2 + 1/16 * a^2 - 1/8 * a^2 = 3/16 * a^2 2) в треугольнике dac pm || ac и p - середина ad => pm - средняя линия, тогда pm = 1/2 * ac = 1/2 * a и dm = 1/2 * dc = 1/2 * a 3) dm = 1/2 * a, df = 1/4 * a так как в треугольнике cdb cd = db = cb = a, значит он равносторонний и fdm = 60. тогда по теореме косинусов: fm^2 = (1/2 * a)^2 + (1/4 * a)^2 - 2 * 1/2 * a * 1/4 * a * cos 60 fm^2 = 1/4 * a^2 + 1/16 * a^2 - 1/8 * a^2 = 3/16 * a^2 значит искомый треугольник pmf равнобедренный fm = pf = 3^(1/2)/4 * a, dm = 1/2 * a fh2 - высота треугольника mfp (она же медиана) отсюда mh2 = 1/2 * mp = 1/2 * 1/2 * a = 1/4 * a из прямоугольного треугольника fmh2: (fm)^2 = (fh2)^2 + (mh2)^2 (fh2)^2 = (fm)^2 - (mh2)^2 (fh2)^2 = (3^(1/2)/4 * a)^2 - (1/4 * a)^2 = = 3/16 * a^2 - 1/16 * a^2 = 1/8 * a^2 => fh2 = 2^(1/2)/4 * a s mfp = 1/2 * mp * fh2 s mfp = 1/2 * 1/2 * a * 2^(1/2)/4 * a = 2^(1/2)/16 * a^2 вот так наверное.