Прямой решения такой
Пусть точка Р - середина КВ, то есть ВР = КP = 1/4; тогда МР II CK и МР = СК/2. Из прямоугольного треугольника DKP с катетами DK = √3/2 и КР = 1/4 находится DP (нужен только квадрат DP^2 = DK^2 + KP^2). В треугольнике DPM две другие стороны DM = √3/2, МР = √3/4; отсюда по теореме косинусов (x - КОСИНУС искомого угла DMP)
DK^2 + KP^2 = DM^2 + MP^2 - 2*DM*MP*x;
1/16 = 3/16 - 2*(√3/2)*(√3/4)*x;
x = 1/6;
ответ arccos(1/6);
Есть такой интересный
Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D - правильный тетраэдр. Если обозначить М - центр грани куба ABCD, К - центр грани BCC1B1, то прямые DK и A1M - и есть нужные прямые.
Углы не зависят от масштаба, есть принять сторону куба за 1
и i j k - единичные вектора i = AB; j = AD; k = AA1;
то
вектор MA1 = -i/2 - j/2 + k;
вектор DK = -i/2 + j + k/2;
их скалярное произведение равно 1/4 - 1/2 + 1/2 = 1/4,
а произведение модулей (у них модули равны) (1/2)^2 + 1^2 + (1/2)^2 = 6/4,
откуда косинус угла 1/6.
1) S(верхнее)=пи*r^2=пи*3^2 =9пи=28,26
2) S(нижнее)=пи*R^2=пи*8^2 =64пи=200,96
3) Рассмотрим осевое сечение конуса - это равнобедренная трапеция АВСД, где ВС - диаметр верхнего основания, АД - нижнего. Из т.С опустим перпендикуляр СЕ на сторону АД. Рассмотрим прямоугольный треугольник СДЕ:
ЕД=(АД-ВС)/2=(8*2-3*2)/2=5
СЕ^2=CД^2-ЕД^2=6^2-5^2=36-25=11, СЕ=корень из 11
4) Пусть т. О - центр нижнего основания, т. О1 - центр верхнего основания. т.К - пересечение прямых ОО1 и СД. Треугольники КСО1 и КДС подобны по 2-м углам (угол К-общий, угол КО1С-КОД=90). Тогда ОД:О1С=КО:КО1
ОД:О1С=(КО1+ОО1):КО1
8:3=(КО1+корень из 11):КО1.
Отсюда КО1=0,6*корень из11;
КО= КО1+ОО1=0,6*корень из11+корень из 11=1,6*корень из 11
5) V=1/3*H*S1-1/3*h*S2=1/3*1,6*корень из 11*200,96-1/3*0,6*корень из11*28,26=336,73
