Медиана делит сторону треугольника на 2 равные части.
При построении трёх медиан в прямоугольном треугольнике, получится ещё 2 прямоугольных треугольника, но с другими катетами (медианы будут являться гипотенузами для каждого из этих треугольников)
То есть применяя теорему Пифагора, получаем:
(Медиана1)^2=a^2+(b/2)^2 (первая сторона делится на 2)
(Медиана2)^2=(a/2)^2+b^2 (вторая сторона делится на 2)
Но (Медиана3) вычисляется по свойствам прямоугольного треугольника (то есть не так как (Медиана1) и (Медиана2))
(Медиана3)^2=(c/2)^2=(a^2+b^2)/4 (то есть Медиана3=Половине гипотенузы, и одновременно является радиусом описанной окружности)
Теперь осталось найти сумму трёх выражений:
(a^2+(b/2)^2)+((a/2)^2+b^2)+((a^2+b^2)/4)=(a^2+b^2)*3/2=(3/2)*c^2
То есть при преобразовании снова применена теорема Пифагора.
Пусть ABCD — произвольный выпуклый четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, пусть E — точка пересечения его диагоналей,
AE = a, BE = b, CE = c, DE = d. Применим к тре угольникам ABE и CDE теорему Пифагора:
AB2 = AE2 + BE2 = a2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
следовательно,
AB2 + CD2 = a2 + b2 + c2 + d2.
Применив теперь теорему Пифагора к треугольникам ADE и BCE, получим:
AD2 = AE2 + DE2 = a2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
откуда вытекает, что
AD2 + BC2 = a2 + b2 + c2 + d2.
Значит, AB2 + CD2 = AD2 + BC2, что и требовалось доказать.
