Окружности:
центр A, радиус 2
центр B, радиус 5
центр C, радиус x
AB=10
Точка касания двух окружностей лежит на линии центров.
Если окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Если окружности касаются внутренним образом, расстояние между центрами равно разности радиусов.
1) Окружность C касается окружности A внутренним образом, а окружности B внешним образом.
AC = |x-2|
BC =x+5
Для трех точек действует неравенство треугольника (ACB). Причем нас устраивает вырожденный треугольник (когда С лежит на AB), поэтому неравенство нестрогое.
AC+BC >= AB
Если x<2, то |x-2|=2-x
Тогда 2-x+x+5 >= 10 <=> 7>=10, противоречие
Следовательно x>=2 и |x-2|=x-2
x-2+x+5 >= 10
x >= (10+2-5)/2
x >= 3,5
2) Окружность C касается окружности A внешним образом, а окружности B внутренним образом.
AC =x+2
BC = |x-5|
Аналогично
x+2+x-5 >= 10
x >= 6,5
Таким образом радиус третьей окружности в любом случае не меньше 3,5.
асательная прямая t к окружности c пересекает окружность в единственной точке t. для сравнения, секущие прямые пересекают окружность в двух точках, в то время как некоторые прямые могут не пересекать окружность совсем. это свойство касательной прямой сохраняется при многих преобразованиях[en], таких как подобие, вращение, параллельный перенос, инверсия и картографическая проекция. говоря техническим языком, эти преобразования не меняют структуру инцидентности касательных прямых и окружностей, даже если сами прямые и окружности деформируются.
радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой. и обратно, перпендикуляр к радиусу в конечной точке (на окружности) является касательной прямой. окружность вместе с касательной прямой имеют осевую симметрию относительно радиуса (к точке касания).
по теореме о степени точкипроизведение длин pm•pn для любого луча pmn равно квадрату pt, длине отрезка от точки p до точки касания (отрезок показан красным цветом).никакая касательная прямая не может проходить через точку внутри окружности, поскольку любая такая прямая должна быть секущей. в то же время для любой точки, лежащей вне круга, можно построить две проходящие через неё касательные прямые. фигура, состоящая из окружности и двух касательных прямых, также обладает осевой симметрией относительно прямой, соединяющей точку p с центром окружности o (см. рисунок справа). в этом случае отрезки от точки p до двух точек касания имеют одинаковую длину. по теореме о степени точки квадрат длины отрезка до точки касания равен степени точки p относительно окружности c. эта степень равна произведению расстояний от точки p до двух точек пересечения окружности любой секущей линией, проходящей через p.
угол θ между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой между концами хорды.касательная прямая t и точка касания t свойством сопряжённости друг другу; это соответствие можно обобщить в идею о полюсе и поляре. такая же взаимосвязь существует между точкой p вне окружности и секущей линией, соединяющей две точки касания.
если точка p лежит вне окружности с центром o, и если касательные прямые из p касаются окружности в точках t и s, то углы ∠tps и ∠tos в сумме 180°.
если хорда tm проведена из точки касания t прямой p t и ∠ptm ≤ 90°, то ∠ptm = (1/2)∠mot.
