На рисунке представлен прямоугольный треугольник ABC, в котором AB - гипотенуза. С точки C проведен перпендикуляр CD на гипотенузу AB. Построена окружность, диаметром которой является CD. Окружность пересекает стороны AC и BC в точках E и F, при этом EC=50 см а FC=20 см.
Нужно найти площадь треугольника ABC

№1
Рассмотрим треугольники MON и KOF, в них NO=OF (по условию), MO=OK (т.к. NO - биссиктриса), угол MON= углу FOK (как вертикальные), значит треугольники равны (по двум сторонам и углу между ними)
№2
Рассмотрим треугольники ABP и CBQ, в них AP=QC (по условию), AB=BC (по условию), угол BAP= углу BCQ (в равнобедренных треугольниках углы при основании равны), следовательно треугольники ABP и CBQ равны. Из равенства треугольников берем равенство соответственных сторон BP и BQ, следовательно треугольник BPQ равнобедренный т.к. BP=BQ

Для начала нужно начертить ромб ABCD.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Отметим на нём диагонали AC и BD. 
Точка пересечения диагоналей О - центр вписанной окружности.
Проведем к прямой AB высоту из точки O. 
OH - радиус вписанной окружности на чертеже
Радиус, вписанной в ромб, окружности можно найти по формуле:


R - радиус, S - площадь ромба, Р - полупериметр ромба.

У нас неизвестно S. Найдём по формуле площади ромба по стороне и углу: площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла.



 =  =  =  

Т.к. полупериметр ромба равен
Р - полупериметр, а - сторона ромба.



Подставляем значения в формулу и считаем:

 
-----------------------------------------------------------------------
ответ: R = 3