См. чертеж. Ясно, что АО, ВО и СО - биссектрисы. Угол MOC - внешний угол треугольника AOC, поэтому угол MOC = A/2 + C/2; (А, B и С - углы треугольника ABC); Треугольник BKE прямоугольный, так как BO перпендикулярна FE. Угол KEC - внешний угол треугольника BKE, поэтому угол KEC = 90° + B/2; получилось, что угол MOC + угол KEC = A/2 + C/2 + B/2 + 90° = 180°; Это означает, что вокруг четырехугольника OMEC можно описать окружность. В этой окружности углы OMC и OEC вписанные и опирающиеся на одну дугу, поэтому они равны, и - поскольку угол OEC = 90°, то угол OMC тоже равен 90°; (а OC - диаметр этой окружности).
Легко найти стороны четырехугольника. Если AD = a = 48, и дальше по часовой стрелке AB = b, BC = c, CD = d, то a*b/(c*d) = 6; и a*d/(b*c) = 6; Это все - отношение площадей, к примеру, если диагональ ВD, то площадь ABD S = a*b*sin(A)/2; а площадь BDC S/6 = c*d*sin(C)/2; а для вписанных четырехугольников сумма углов A и C равна 180°, то есть их синусы равны) если перемножить, получится с = a/6 = 8; отсюда b/d = 1; то есть b = d; а поскольку a + c = b + d; сразу находится b = d = 28; Легко видеть, что ABCD - равнобедренная трапеция, так как углы ADB и CBD равны - они опираются на равные хорды описанной окружности. То есть AD II BC, и углы A = D; B = C = 180° - A; Дальше все элементарно. Проекция боковой стороны АВ на AD равна (48 - 8)/2 = 20; (если ВН высота, то АН = 20) Отсюда высота BH = 8*√6; (кстати, это диаметр вписанной окружности) tg(A) = BH/AH = 2*√6/5; tg(B) = - tg(A); Найти R - радиус описанной окружности, технически не сложно. Нужно найти диагональ BD по теореме косинусов для треугольника ABD, а потом найти R из теоремы синусов для этого же треугольника. При этом известно, что cos(A) = AH/AB = 5/7; sin(A) = BH/AB = 2*√6/7; отсюда BD^2 = 48^2 + 28^2 - 2*48*28*(5/7) = 1168; BD = 4*√73; 2*R*(2*√6/7) = 4*√73; R = 7*√(73/6); ну, тут уж ничего не поделать. :)
В качестве проверки :) Для вписанного и описанного четырехугольника (одновременно!) S^2 = a*b*c*d; а для вписанного четырехугольника справедливо еще и такое соотношение 16*S^2*R^2 = (a*b + c*d)*(b*c+a*d)(a*c + b*d); то есть R^2 = (a*b + c*d)*(b*c+a*d)(a*c + b*d)/(16*a*b*c*d) = = (48*28 + 8*28)*(28*8 + 48*28)*(48*8 + 28^2)/(16*48*28*28*8) = 7*√(73/6); :
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
