У піраміді переріз, паралельний основі, ділить висоту у відношенні 2 : 3 (рахуючи від вершини). Знайдіть площу (у см2) перерізу, якщо відомо, що вона менша за площу основи на 84 см2.

а - сторона ромба

периметр

Р = 4 а = 52

а = 52/4 = 13 см

Диагонали ромбы d1 и d2 перпендикулярны = >

d1 / d2 = 5 / 12 или d1 = 5d2 / 12

Cтороны прямоугольных треугольников, образуемых диагоналями, будут ^

d1/2, d2/2 - катеты

а - - гипотенуза (она же сторона ромба)

По теореме пифагора

(d1/2) ^2 + (d2/2) ^2 = a^2

d1^2 + d2^2 = 4a^2

(5d2 / 12) ^2 + d2^2 = 13^2

25d2^2 + 144d2^2 = 13^2 * 12^2

169d2^2 = (13^2*12^2

13^2 d2^2 = 13^2 * 12^2

d2^2 = 12^2

d2 = 12 см - вторая диагональ

d1 = 5d2 / 12 = 5 * 12 / 12 = 5 - первая диагональ

ответ: диагонали d1=5 cм, d2 = 12 см

АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см

ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.

Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3  / (2√(5 - 4cos80°))

BB₁ = 3x = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) или


Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁  = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2