Серединний перпендикуляр до діагоналі АС прямокутника АВСD перетинає сторону ВС у точці М так, що ВМ:МС=1:2. Знайдіть кути, на які
діагональ прямокутника ділить його кут.

Разместим квадрат ABCD в координатной плоскости, совместив вершину А с началом координат. Если сторона квадрата равна 4, то координаты точек:
A(0 ; 0), B(0 ; 4), C(4 ; 4), D(4 ; 0), P(0 ; 2) т.к. Р - середина АВ.
Для нахождения координат точек M и N, составим уравнения прямых AC, BD, PD  и PC и найдем координаты их точек пересечения.

АС: y = x        BD: y = - x + 4      PD: y = - x/2 + 2      PC: y = x/2 + 2
M = AC∩PD:      приравниваем правые части соответствующих уравнений
                             x = - x/2 + 2
                             3x/2 = 2
                             x =4/3       y = 4/3
                             М(4/3 ; 4.3)
N = BD∩PC:      - x + 4 = x/2 + 2
                            3x/2 = 2
                             x = 4/3        y = - 4/3 + 4 = 8/3
                             N(4/3 ; 8/3)
Так как координаты х  этих точек одинаковы, то MN║AB.
Длина отрезка MN = 8/3 - 4/3 = 4/3
PS - средняя линия ΔABD, следовательно PS║AD, PS = AD/2 = 2
Значит, MN⊥PS.

Spmsn = PS · MN/2 = (2 · 4/3)/2 = 4/3

Дан треугольник АВС, высота ВД=8 см, АД=15 см, ДС=6 см.

Сторона АС = 15 + 6 = 21 см.

Отсюда находим площадь треугольника.

S = (1/2)ah = (1/2)*21*8 = 84 см².

Теперь используем формулы радиуса.

Радиус r вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.

Находим неизвестные стороны.

АВ = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см.

ВС = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.

Полупериметр р = (17 + 10 + 21)/2 = 48/2 = 24 см.

Находим: r = S/p = 84/24 = 3,5 см.

Радиус R описанной окружности равен:

R = abc/(4S) = 17*10*21/(4*84) = 10,625 см.