На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки Д и Е так, что ДЕ = 6 см и ВД : ДА = 4 : 3. Плоскость α проходит через точки В и С параллельно отрезку ДЕ. Найти длину отрезка ВС.

Для нахождения вероятности этого надо найти соотношение площадей круга и шестиугольника. Площадь круга, как известно:
S = П*r^2, где П=3,14, r - радиус. 
Теперь найдём площадь вписанного правильного щестиугольника (нарисуйте иллюстрацию, так будет понятнее). Она равна шести площадям треугольника, образованного стороной шестиугольника и двумя радиусами. Так как угол этого треугольника, лежащий у центра окружности, равен 360 / 6 = 60, то этот треугольник вообще равносторонний и его сторона равна r. Найти площадь его можно по формуле Герона, если проходили (для неё достаточно только трёх сторон), или более классическим путём - как произведение половины основания на высоту. Основание r, высота легко выводится тригонометрически: для равностороннего треугольника высота равна r*cos(60/2) =  / 2 * r
Отсюда площадь треугольника: 1/2 * r *  / 2 * r = / 4* r^2
Площадь шестиугольника равна: 6 *   / 4* r^2 = 1,5 * * r^2
Теперь делим её на площадь круга:
1,5 * * r^2 / (П*r^2) = 1,5 * / П
Численно это примерно равно 0,83 или 83%.

Так как не указано какой угол прямой, то возможны два варианта. 1) АВ=с=13 см - гипотенуза; АС=а, ВС=b - катеты; по условию а+b=17, тогда: b=17-a; По теореме Пифагора: а^2+b^2=c^2; a^2+(17-a)^2=13^2; a^2+289-34a+a^2=169; 2a^2-34a+120=0; a^2-17a+60=0; D=(-17)^2-4*60=49; a=(17-7)/2=5 и а=(17+7)/2=12; b=17-5=12 и b=17-12=5; ответ: 5; 12 или 12; 5 2) АВ=а=13 см - катет; АС=b - катет; ВС=с - гипотенуза; по условию b+с=17, тогда: b=17-c; По теореме Пифагора: а^2+b^2=c^2; 13^2+(17-c)^2=c^2; 169+289-34c+c^2=c^2; 34c=458; c=458/34=229/17; b=17 - 229/17=60/17; ответ: 60/17; 229/17