№1) Изобразите прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Выпишите и отметьте на рисунке:

а) Пару равных векторов
б) Пару коллинеарных противоположно направленных векторов
в) Пару ортогональных (перпендикулярных) векторов
г) Тройку компланарных векторов
№2
Заданы векторы:a(2;m;-3)и b(1;-1;5)
Существует ли такое значение m, при котором:

а) Эти векторы коллинеарны

б) Угол между этими векторами – прямой ( ).

Если да, то найдите это значение для каждого из случаев. Запишите полное решение, используя условие коллинеарности и условие ортогональности (перпендикулярности) векторов.

№3)
Задан куб ABCDA1B1C1D1 с ребро единичной длины. Точка M – середина ребра BB1.

а) Изобразите это куб, а также систему координат, поместив её начало в точку B. Укажите координаты точек A, M, D и B1
б) Найдите расстояние между точками A и М, используя формулу расстояния между точками в пространстве
в) Найдите косинус угла между указанными векторами cos(AM;B1D)

№1:
a) Пара равных векторов:
Равные векторы - это векторы, у которых все компоненты равны. В данном случае можно выбрать, например, вектор AB и вектор B1A1, так как стороны прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

б) Пара коллинеарных противоположно направленных векторов:
Коллинеарные противоположно направленные векторы - это векторы, которые лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны. В данном случае можно выбрать, например, вектор AD и вектор A1D1, так как они лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

в) Пара ортогональных (перпендикулярных) векторов:
Ортогональные (перпендикулярные) векторы - это векторы, которые образуют прямой угол между собой. В данном случае можно выбрать, например, вектор AB и вектор BC, так как они образуют прямой угол между собой.

г) Тройка компланарных векторов:
Компланарные векторы - это векторы, которые лежат в одной плоскости. В данном случае можно выбрать, например, векторы AB, AD и A1B1, так как они все лежат в плоскости, образованной прямоугольной гранью параллелепипеда.

№2:
а) Эти векторы коллинеарны:
Для того чтобы узнать, являются ли данные векторы коллинеарными, необходимо проверить условие коллинеарности, которое гласит, что если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Пусть м = x. Тогда у нас получается система уравнений:
2 = 1 * x
m = -1 * x
-3 = 5 * x

Решая данную систему уравнений, получаем ответ:
x = -2/5

Таким образом, при m = -2/5 векторы a и b коллинеарны.

б) Угол между этими векторами – прямой:
Для того чтобы узнать, образуют ли данные векторы прямой угол, необходимо проверить условие ортогональности (перпендикулярности) векторов, которое гласит, что если векторы образуют прямой угол, то их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле: a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

Пусть m =x. Тогда мы получаем следующие значения:
a * b = (2 * 1) + (x * -1) + (-3 * 5)
a * b = 2 - x - 15

Задача состоит в том, чтобы найти значение m, при котором a * b = 0:
2 - x - 15 = 0

Решая это уравнение, получаем:
x = -13

Таким образом, при m = -13 угол между векторами a и b равен прямому углу.

№3:
а) Изобразим куб ABCDA1B1C1D1 с ребром единичной длины и системой координат, поместив её начало в точку B.

Координаты точек:
A(1, 0, 0)
M (0, 1/2, 0)
D (0, 0, 1)
B1 (0, 0, -1)

б) Расстояние между точками A и M:
Для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве применяется формула расстояния между точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

В данном случае, координаты точки A (x1, y1, z1) равны (1, 0, 0), а координаты точки M (x2, y2, z2) равны (0, 1/2, 0).

Подставляем значения в формулу:
d = √((0 - 1)^2 + (1/2 - 0)^2 + (0 - 0)^2)
d = √(1 + 1/4 + 0)
d = √(5/4)
d = √5/2

Расстояние между точками A и M равно √5/2.

в) Косинус угла между указанными векторами cos(AM;B1D):
Для нахождения косинуса угла между двумя векторами применяется формула:
cos(AM;B1D) = (AB1 * AM) / (|AB1| * |AM|)

В данном случае, вектор AB1 (x1, y1, z1) равен (0, 0, -1), вектор AM (x2, y2, z2) равен (0, 1/2, 0), |AB1| - длина вектора AB1, |AM| - длина вектора AM.

AB1 = √(x1^2 + y1^2 + z1^2) = √(0^2 + 0^2 + (-1)^2) = √1 = 1
AM = √(x2^2 + y2^2 + z2^2) = √(0^2 + (1/2)^2 + 0^2) = √(1/4) = 1/2

Подставляем значения в формулу:
cos(AM;B1D) = ((0 * 0) + (0 * 1/2) + (-1 * 0)) / (1 * 1/2)
cos(AM;B1D) = 0 / (1/2)
cos(AM;B1D) = 0

Косинус угла между векторами AM и B1D равен 0.