∠1 = 60°; ∠2= 120°; ∠3 = 60°; ∠4= 120°.
Объяснение:
Задание
Найдите углы ромба ABCD, если его сторона равна 6 см, а большая диагональ 6√3 см.
Решение
Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами диагоналей ромба:
1) диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам;
2) диагонали ромба пересекаются под углом 90°;
3) диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
1) В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением диагоналей и стороной ромба:
- сторона ромба (6 см) является гипотенузой;
- половина большей диагонали (6√3 : 2 = 3√3 см) катетом.
2) Рассчитаем косинус угла α образованного стороной ромба и большей диагональю:
cos α = 3√3 / 6 = √3/2,
α = arccos √3/2 = 30°.
3) ∠1 = 2α = 30° · 2 = 60°.
4) Так как сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то ∠2 = 180 - 60 = 120 °.
5) Противоположные углы ромба равны:
∠3 =∠1 = 60°.
∠4 =∠2= 120°.
ответ: ∠1 = 60°; ∠2= 120°; ∠3 = 60°; ∠4= 120°.
Для начала найдем гипотенузу этого треугольника. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов.
см.
Теперь найдем острые углы этого треугольника. Сделаем это через их синусы. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Пусть угол B лежит напротив катета b. Тогда 
.
Таким образом, 
≈ 56,44°.
Зная это, мы можем найти оставшийся угол А. 
.
В треугольнике напротив большей стороны всегда лежит больший угол. Значит, наше утверждение правильно. Катет b больше катета a. Поэтому угол B - тот, который лежит напротив катета b, угол A - тот, что лежит напротив катета a.
