Примем коэффициент отношения ВР:АР равным а
Тогда ВР=а, АР=3а, АВ=4а
РТ║АС, АВ - секущая при них. ⇒
углы при основаниях ∆ АВС и ∆ ВРТ равны как соответственные, угол В общий. ⇒
∆ АВС~∆ ВРТ. ВР:АВ=1/4⇒
РТ:АС=1/4⇒
АС=4РТ
АРТС - трапеция. в неё вписана окружность. Вписать окружность в трапецию можно тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. ⇒
РТ+АС=АР+ТС=6а.
АС=6а-РТ
РТ:(6а-РТ)=1/4⇒
4РТ=6а-РТ
5РТ=6а—
РТ=1,2а
АС=4,8а
Опустим высоту РН. Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший – их полуразности.
АН =(АС-РТ):2=(4,8а-1,2а):2=1,8а
Из прямоугольного ∆ АРН по т.Пифагора найдем значение а.
АР²-АН²=РН²
9а²-3,24а²=81⇒
5,76а²=81⇒
а=√14,0625=3,75
Р=12а=45 см
∠МВС = 20°.
∠ВСМ = 70°.
Объяснение:
В треугольнике АВС отрезок ВМ является и высотой (∠ВМА = 90° - дано) и медианой (точка М - середиеа стороны АС - дано). Следовательно, треугольник АВС равнобедренный с основанием АС и отрезок ВМ является биссектрисой (свойство). Тогда
∠МВС = ∠АВС:2 = 40:2 = 20°.
∠ВСМ = ∠ ВАМ = 70° (углы при основании равнобедренного треугольника).
Или так:
∠ВМА=∠ВМС=90° как смежные, равные в сумме 180°.
Прямоугольные треугольники АВМ и СВМ равны по двум катетам: ВМ - общий, а АМ = СМ (так как точка М - середина стороны АС - дано) Из равенства треугольников имеем равенство углов, лежащих против равных сторон:
∠МВС = ∠МВА = ∠АВС:2 = 40:2 = 20°. (∠АВС = ∠МВС + ∠МВА)
∠ВСМ = ∠ ВАМ = 70°.
