А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см
Как ни странно, расстояние между серединами АС и СВ, равно 19 см.
Пусть точка Т- середина АС, она делит отрезок АС на два равных отрезка длиной 9 см каждый, точка Р- середина СВ, тоже делит отрезок на два равных, по 10 каждый, тогда расстояние от точки Р до точки Т равно 9+10=19
2. Биссектриса АД делит угол ВАС пополам, по 40° равны и угол ВАД и угол ДАК
Так как АВ║ДК, при секущей АД углы ВАД и АДК равны, как накрест лежащие при указанных прямых и секущей, значит, угол АДК=40°, а угол АКД =180-40-40=100/град./
3.Раз треугольник равнобедренный, то ДМ не только биссектриса, но и медиана, но тогда периметр треугольника АВС =2*АД+2*АМ=
2*(АД+АМ)=22, а периметр треугольника АСМ =АД+АМ+ДМ=22/2+ДМ=
11+ДМ=16, откуда ДМ=5/см/
4.Значит, угол при основании х, а при вершине 10х,
х+х+10х=180; 12х=180
х=180/12=15
Углы при основании по 15 град., а при вершине 150 град.
5.Угол А равен 44=180-угол В- угол С, тогда сумма углов В и С равна 180-44=136, но угол Е равен 180 минус половины углов В и С , т.е. 180-(136/2)=180-68=112/град./
6.Медианы пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2/1. начиная от вершины. Значит, АЕ=5+2.5=7.5
И т.к. дан равносторонний треугольник, то расстояние от В до АС- длина перпендикуляра ВД, т.к. медиана будет и высотой. Тогда ВД=7.5/ см/
7.Нет. не существует. Если первая равна х, вторая 2х. третья х-1, то х+2х+х-1=47.
4х=48
х=12. Первая 12, вторая 24, третья 11, но сумма 12+11 меньше 24, не выполняется неравенство треугольника. Значит. такой треугольник нельзя построить.
8.Самый большой угол в этом треугольнике прямой. биссектриса делит его на два по 45 град., если в треугольнике, образованном высотой и катетом, найти острый угол, он будет равен 45-17=28, и теперь надо найти второй. отнять от 90-28=62град, получим угол искомого треугольника, тогда другой угол искомого треугольника равен 90-62=28 град., т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
