Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Тіктөртбұрыш дегеніміз - төртбұрыш тең және бұрыштары тең және параллель қарама-қарсы жақтары.
Сондықтан диагональ осы геометриялық пішінді екі бұрышты үшбұрышқа бөледі. Бұл сегменттің мәнін тіктөртбұрыштың тиісті жақтарының квадраттарының қосындысының квадрат түбірі арқылы табуға болатындығы белгілі болды (Пифагор теоремасы бойынша).
Тіктөртбұрыштың диагоналы кішкентай латынша d немесе екі үлкен әріптермен, диагоналды қосатын шыңдармен белгіленеді.
Шеңбер сипатталған тіктөртбұрыштың диагональ ұзындығы осы шеңбердің диаметріне тең.
