1) Пользуемся формулой: (х-х₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)
A x=0 y=2; B x=-3 y=7
Подставляем уже известные нам координаты:
(х-0)/(-3-0)=(y-2)/(7-2)
(x)/(-3)=(y-2)/(5)
теперь пытаемся привести к обычному виду: y=kx+m
домножим всё на -3 и 5, получим:
5x=(y-2)*(-3)
5x=-3y+6
Переносим 6:
-3y=5x-6
делим на -3:
y=(5x/-3)+2
2) Дан треугольник АВС, АD - медиана, А(5;1),B(0;3),C(4;7).
Найти: AD.
Во первых, посчитаем все стороны:
Чтобы найти длину стороны нужно из координат одного конца вычесть координаты другого конца и сложить их:
d=√((х₁-х₂)+(у₁-у₂))
АВ=√((5-0)+(1-3))
АВ=√(5-2) =√3
АС=√((5-4)+(1-7))
АС=√(1-6)=√5
ВС=√((0-4)+(3-7))
ВС=√(-4-4) = √8
Теперь, будем искать медиану. Она равна:
Т.к АD- медиана, то она падает на сторону ВС.
По формуле:
АD=1/2(2АC²+2AB²+BC²)
AD=1/2(2*5+2*3+8)
AD=1/2(10+6+8)
AD=24/2 = 12.
3)AC/СB = 3/1 по условию.
Дальше, находим по формуле точки на прямой: х=(х₁+х₂)/2; y=(y₁+y₂)/2
xy-координаты точки с, х₁у₁ - координаты точки А.
Выводим:
x₁=2x-x₂ = 2*2-1 =3 y₁=2y-y₂ = 2*-1-2 = 4
A(3;4)
Как-то так.
А1 Если точка лежит в плоскости YOZ, то x=0;
ответ: а) A(0; 1; 1).
A2 Координаты середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка:
x(М) = (x(A) + x(В))/2; ⇒ x(B)=2· x(M) - x(A);
x(B) = 2 · (- 2) - 1 = - 5
y(B) = 2 · 4 - 3 = 5
z(B) = 2 · 5 - (- 2) = 12
ответ: a) B(- 5; 5; 12).
A3 B(6; 3; 6) C(- 2; 5; 2)
Если АМ медиана, то M - середина ВС.
x(M) = (6 - 2)/2 = 2; y(M) = (3 + 5)/2 = 4; z(M) = (6 + 2)/2 = 4
M(2; 4; 4); A(1; 2; 3)
AM² = (2 - 1)² + (4 - 2)² + (4 - 3)² = 1 + 4 + 1 = 6;
AM = √6
ответ: а) √6
А4 Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
↑a · ↑b = 1 · (- 1) + (- 1) · 1 + 2 · 1 = - 1 - 1 + 2 = 0
ответ: б) 0.
А5 При симметрии относительно оси Ох меняют знак координаты у и z:
А(0; 1; 2) → A₁ (0; - 1; - 2),
B(3; - 1; 4) → B₁ (3; 1; - 4),
C(- 1; 0; - 2) → C₁ (- 1; 0; 2).
B1 Неполное условие. Должно быть так:
Диагональ осевого сечения цилиндра равна √81 см, а радиус основания – 3 см. Найти высоту цилиндра.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого (АВ) равна диаметру основания, а другая - образующая (она же высота).
Из прямоугольного треугольника АВВ₁ по теореме Пифагора:
ВВ₁ = √(АВ₁² - АВ²) = √(81 - 36) = √45 = 3√5 см
ответ: 3√5 см
B2 ΔSOA прямоугольный,
R = OA = SA · cos30° = 8 · cos30° = 8 √3/2 = 4√3 см
h = SO = SA · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Sasb = 1/2 AB · SO = 1/2 · 2R · h = R · h = 4√3 · 4 = 16√3 см²
С1 Если призма вписана в шар, то ее основания вписаны в равные круги - параллельные сечения шара, а центр шара - точка О - лежит на середине отрезка КК₁, соединяющего центры этих кругов.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. ОК перпендикулярен плоскости АВС. Тогда КК₁ - высота призмы.
ОА - радиус шара, ОА = 4 см,
КА - радиус сечения, или радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС (призма правильная), тогда
КА = а√3/3, где а - ребро осноавния,
КА = 6√3/3 = 2√3 см
Из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора:
ОК = √(ОА² - КА²) = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2 см
КК₁ = 2ОК = 4 см
ответ: 4 см
