Перпендикуляр, опущений з вершини D прямокутника на його діагональ, ділить її у відношенні 1:3, акут ADC у відношенні 1:2. Знайдіть довжину діагоналі, якщо
менша сторона прямокутника дорівнює 16.

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в пять раз меньше суммы двух других.

============================================================

Пусть ∠А = ∠С = х , ∠В = у, тогдаРассмотрим 2 случая решения данной задачи:Первый случай:∠В = ( ∠А + ∠С )/5у = 2х/5Сумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180°х + 2х/5 + х = 18х°12х/5 = 180°х = 75°Значит, ∠А = ∠С = 75° , ∠В = 30°Второй случай:∠А = ( ∠В + ∠С )/5х = ( у + х )/55х = у + ху = 4хСумма всех углов в треугольнике составляет 180° ⇒∠А + ∠В + ∠С = 180х + 4х + х = 180°6х = 180°х = 30°Значит, ∠А = ∠С = 30° , ∠В = 120°ОТВЕТ: 30°, 75°, 75° ИЛИ 30°, 30°, 120°

Ну тут всё просто. Пусть точкой пересечения AC и BD является O. Тогда:
1. Треугольники AOB и DOC равны по первому признаку:
а) AO = OC - по условию;
б) BO = OD - по условию;
в) ∠AOB = ∠DOC - как вертикальные углы.
2. Аналогично, треугольники AOD и BOC равны по первому признаку (см. п. 1)
3. Из равенства ΔAOB = ΔDOC получаем, в частности, что AB = DC. Аналогично, из равенства ΔAOD = ΔBOC получаем, что AD = BC.

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку:
а) AB = DC - из равенства ΔAOB и ΔDOC;
б) AD = BC - из равенства ΔAOD и ΔBOC;
в) сторона AC - общая.