Вариант № 1 1. Даны точки А (3; 2), В (3; 1), C (2; 0),
D (9;-2). Найдите:
а) координаты векторов AB и DC;
б) найдите середину вектора АС;
в) докажите, что векторы AC и BD
перпендикулярны.​

В решении этой задачи применима теорема Пифагора. 

Смотрите рисунок, данный во вложении.

Если продолжить расстояние от точки А - проекции М на прямую α -

 

на длину расстояния от точки N до ее проекции В,

 

и соединить конец С этого отрезка с N,

 

получим прямоугольный треугольник MСN,

 

в котором известны гипотенуза MN=13 см,

 

и меньший катет МС=2+3=5 см

Если знаете несколько из Пифагоровых троек, а это как раз такая тройка (13,5,12), то, возможно, догадаетесь, что СN =12 см

По теореме Пифагора:
СN²=MN²- МС²= 169-25=144
СN=12 см
АВ=СN=12 см
ответ: Искомое расстояние равно 12 см

1.
Проведем высоту наклонной призмы из вершины С₁.
Так как грань АА₁С₁С перпендикулярна плоскости основания, высота будет лежать в этой грани, а основание высоты - точка Н - на прямой АС.
АС ⊥ ВС так как ∠АСВ = 90° по условию, т.е.
СН⊥ВС, СН - проекция наклонной С₁С на плоскость основания, значит
С₁С⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
Боковые грани призмы - параллелограммы.
В параллелограмме ВВ₁С₁С есть прямой угол, значит эта грань - прямоугольник.

2.
Пусть А₁О⊥АВС.
Вершина А₁ равноудалена от всех вершин нижнего основания, т.е. А₁А = А₁В = А₁С.
Равные наклонные, проведенные из одной точки, имеют равные проекции:
АО = ВО = СО, тогда точка О - центр правильного треугольника АВС (точка пересечения медиан, биссектрис и высот, которые совпадают).
Так как АН⊥ВС, то и АО⊥ВС,
АО - проекция А₁А на плоскость основания, значит
А₁А⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
ВВ₁║АА₁, значит и ВВ₁⊥ВС.
Боковые грани призмы - параллелограммы.
В параллелограмме ВВ₁С₁С есть прямой угол, значит эта грань - прямоугольник.

3.
Пусть Sbb₁c₁c = 6 см², Sabb₁a₁ = 3√2 см².
КМР - сечение призмы, перпендикулярное боковому ребру.
Тогда ВВ₁⊥КМ и ВВ₁⊥МР, значит ∠КМР = 135° - линейный угол двугранного угла между боковыми гранями.
Sbb₁c₁c = BB₁ · KM
KM = Sbb₁c₁c / BB₁ = 6 / 3 = 2 см
Sabb₁a₁ = BB₁ · MP
MP =  Sabb₁a₁ / BB₁ = 3√2 / 3 = √2 см
По теореме косинусов из ΔКМР:
КР² = KM² + MP² - 2·KM·MP·cos135° = 4 + 2 - 2·2·√2·(- √2/2) = 6 + 4 = 10
KP = √10 см
Sacc₁a₁ = AA₁ · KP = 3√10 см
Sбок = Sbb₁c₁c + Sabb₁a₁ + Sacc₁a₁ = (6 + 3√2 + 3√10)  = 3(2 + √2 + √10) см²