Точка О - точка пересечения прямых
Угол между двумя пересекающимися прямыми всегда измеряется от 0 до 90 градусов (по определению)
И максимальную сумму AC+BD мы получим под углом в 90 градусов
Значит получим два равных прямоугольных треугольника
Обозначим AO=x
Предположим что AO=OC =x (так как отрезки изменяются пропорционально)
Значит и отрезки BO = DO = x (по равенству треугольников)
Тогда по теореме Пифагора AC = BD = x√2
AC+BD = 2x√2
AB+CD=AO+BO+CO+DO= 4x
Cократим на x и сразу видим что:
2√2 < 4
Значит AC+BD < AB + CD, ч.т.д
Рассмотрим четырёхугольник ACBD:
AC = CB = BD = AD;
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.ACBD - ромб.
Диагонали ромба делят угол пополам (являются биссектрисами углов, из которых они проведены).
Поэтому AB - биссектриса ∠CAD и CD - биссектриса ∠ACB, что и требовалось доказать.
2ойΔACB = ΔADB по трём сторонам (AC=AD; CB=DB; AB - общая сторона), поэтому ∠BAC=∠BAD.
Луч AB делит ∠CAD на два равных угла, поэтому он является биссектрисой этого угла.
ΔCAD = ΔCBD по трём сторонам (CA=CB; AD=BD; CD - общая сторона), поэтому ∠ACD=∠BCD.
Луч CD делит ∠ACB на два равных угла, поэтому он является биссектрисой этого угла.
Доказано.
